Страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1017. Пользуясь графиком функции $y = f(x)$, изображённым на рисунке 47, найдите:

1) область определения функции;

2) область значений функции;

3) координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс;

4) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат;

5) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

6) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Рис. 47

1) область определения функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Глядя на график, мы видим, что он построен для значений $x$ от -6 до 6. В этих крайних точках график не обрывается, а заканчивается, что означает, что они включены в область определения.

Ответ: $D(f) = [-6; 6]$.

2) область значений функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Для ее нахождения нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции по оси $Oy$.
Минимальное значение, которое достигает функция, соответствует самым нижним точкам на графике. Это значение равно -3.
Максимальное значение, которое достигает функция, соответствует самой высокой точке на графике. Это значение равно 4.

Ответ: $E(f) = [-3; 4]$.

3) координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс

Точки пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$) — это точки, в которых $y = 0$. На графике это точки, где кривая пересекает горизонтальную ось.
Мы видим четыре такие точки. Их координаты $x$ (абсциссы) равны -5, -2, 2 и 5. Соответственно, полные координаты этих точек:

Ответ: $(-5; 0)$, $(-2; 0)$, $(2; 0)$, $(5; 0)$.

4) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат

Точка пересечения с осью ординат (осью $Oy$) — это точка, в которой $x = 0$.
На графике находим точку, где $x = 0$. Значение функции (ордината) в этой точке равно 4.

Ответ: $(0; 4)$.

5) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения

Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$) на тех промежутках, где ее график расположен ниже оси $Ox$.
Из графика видно, что это происходит, когда $x$ находится в интервале от -5 до -2, а также в интервале от 2 до 5. Точки, в которых функция равна нулю, не включаются.

Ответ: $x \in (-5; -2) \cup (2; 5)$.

6) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$) на тех промежутках, где ее график расположен выше оси $Ox$.
Из графика видно, что это происходит на трех промежутках:
1. От левой границы области определения $x = -6$ до первого пересечения с осью $Ox$ в точке $x = -5$.
2. Между точками пересечения $x = -2$ и $x = 2$.
3. От точки пересечения $x = 5$ до правой границы области определения $x = 6$.
Точки, где $f(x)=0$, не включаются.

Ответ: $x \in [-6; -5) \cup (-2; 2) \cup (5; 6]$.