Номер 1016, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1016, страница 187.

Условие.

1016. На рисунке 46 изображён график некоторой функции. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение $y$, если $x = -3,5; -1,5; 2; 4$;

2) значения $x$, которым соответствуют значения $y = -3; -1,5; 2$;

3) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

4) область определения и область значений функции;

5) значения аргумента, при которых значения функции положительные;

6) значения аргумента, при которых значения функции отрицательные.

Рис. 46

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) значение y, если x = -3,5; -1,5; 2; 4;

Для нахождения значения функции (y) по заданному значению аргумента (x), необходимо найти на оси абсцисс (оси x) заданную точку, провести из нее перпендикуляр до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (оси y). Полученная точка на оси y и будет искомым значением функции.
- При $x = -3,5$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $-2$. Таким образом, $y = -2$.
- При $x = -1,5$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $3,5$. Таким образом, $y = 3,5$.
- При $x = 2$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $-1$. Таким образом, $y = -1$.
- При $x = 4$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $2$. Таким образом, $y = 2$.

Ответ: если $x = -3,5$, то $y = -2$; если $x = -1,5$, то $y = 3,5$; если $x = 2$, то $y = -1$; если $x = 4$, то $y = 2$.

2) значения x, которым соответствуют значения y = -3; -1,5; 2;

Для нахождения значений аргумента (x), которым соответствуют заданные значения функции (y), необходимо найти на оси ординат (оси y) заданную точку и провести из нее горизонтальную прямую до пересечения с графиком функции. Абсциссы точек пересечения и будут искомыми значениями x.
- При $y = -3$ проводим горизонтальную прямую $y = -3$. Она пересекает график в одной точке, абсцисса которой равна $-4$. Таким образом, $x = -4$.
- При $y = -1,5$ проводим горизонтальную прямую $y = -1,5$. Она пересекает график в трех точках, абсциссы которых примерно равны $-3,2$, $2,5$ и $3,5$. Таким образом, $x \approx -3,2$, $x = 2,5$, $x = 3,5$.
- При $y = 2$ проводим горизонтальную прямую $y = 2$. Она пересекает график в трех точках, абсциссы которых равны $-2,5$, $-1$ и $4$. Таким образом, $x = -2,5$, $x = -1$, $x = 4$.

Ответ: $y = -3$ при $x = -4$; $y = -1,5$ при $x \approx -3,2$, $x = 2,5$, $x = 3,5$; $y = 2$ при $x = -2,5$, $x = -1$, $x = 4$.

3) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

Значение функции равно нулю в тех точках, где ее график пересекает ось абсцисс (ось x). Эти точки называются нулями функции. Из графика видно, что график пересекает ось x в трех точках. Абсциссы этих точек: $x = -3$, $x = 1,5$ и $x \approx 3,8$.

Ответ: $y = 0$ при $x = -3$, $x = 1,5$, $x \approx 3,8$.

4) область определения и область значений функции;

Область определения функции ($D(f)$) – это множество всех значений аргумента (x), при которых функция определена. На графике это проекция графика на ось x. График изображен для x в промежутке от $-4,5$ до $5$. Следовательно, область определения: $D(f) = [-4,5; 5]$.

Область значений функции ($E(f)$) – это множество всех значений, которые принимает функция (y). На графике это проекция графика на ось y. Наименьшее значение функции на графике равно $y_{min} = -3,5$. Наибольшее значение функции на графике равно $y_{max} \approx 3,8$. Следовательно, область значений: $E(f) = [-3,5; 3,8]$.

Ответ: область определения $D(f) = [-4,5; 5]$; область значений $E(f) = [-3,5; 3,8]$.

5) значения аргумента, при которых значения функции положительны;

Значения функции положительны ($y > 0$) на тех интервалах, где график функции расположен выше оси абсцисс (оси x). Из графика видно, что это происходит на интервалах $(-3; 1,5)$ и $(3,8; 5]$. Объединяя эти интервалы, получаем: $x \in (-3; 1,5) \cup (3,8; 5]$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-3; 1,5) \cup (3,8; 5]$.

6) значения аргумента, при которых значения функции отрицательны.

Значения функции отрицательны ($y < 0$) на тех интервалах, где график функции расположен ниже оси абсцисс (оси x). Из графика видно, что это происходит на интервалах $[-4,5; -3)$ и $(1,5; 3,8)$. Объединяя эти интервалы, получаем: $x \in [-4,5; -3) \cup (1,5; 3,8)$.

Ответ: $y < 0$ при $x \in [-4,5; -3) \cup (1,5; 3,8)$.