Номер 1013, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1013, страница 186.

Условие.

1013. Найдите область определения и область значений функции, график которой изображён на рисунке 44.

Рис. 44

а) Область определения: $(-\infty, \infty)$

Область значений: $[1, \infty)$

б) Область определения: $[-2, 3]$

Область значений: $[0, 3]$

в) Область определения: $(-\infty, 3)$

Область значений: $(1, \infty)$

г) Область определения: $(-2, 2)$

Область значений: $\{1\}$

д) Область определения: $\{0, 1, 2\}$

Область значений: $\{-1, 0, 1\}$

Решение 1.

Решение 5.

а)

Область определения ($D(f)$): это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Проекция графика на ось абсцисс ($Ox$) начинается в точке $x = -2$ (эта точка включена, так как не обозначена как выколотая) и заканчивается в точке $x = 3$ (эта точка выколота, так как обозначена пустым кружком). Следовательно, область определения — это полуинтервал от -2 до 3.
$D(f) = [-2; 3)$.

Область значений ($E(f)$): это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Проекция графика на ось ординат ($Oy$) показывает, что минимальное значение функции равно $y = 1$ (достигается в вершине параболы при $x=1$). Максимальное значение равно $y = 5$. Это значение достигается при $x = -2$. Хотя точка $(3, 5)$ выколота, значение $y=5$ включено в область значений, так как оно достигается в другой точке графика, $(-2, 5)$. Таким образом, область значений — это отрезок от 1 до 5.
$E(f) = [1; 5]$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-2; 3)$; область значений $E(f) = [1; 5]$.

б)

Область определения ($D(f)$): График функции представляет собой луч, который начинается в точке с абсциссой $x = -2$ и продолжается вправо до бесконечности. Начальная точка луча принадлежит графику. Таким образом, область определения — это все числа, большие или равные -2.
$D(f) = [-2; +\infty)$.

Область значений ($E(f)$): График начинается на высоте $y = 1$ (в точке $x=-2$) и уходит вверх до бесконечности. Начальное значение $y=1$ включено. Следовательно, область значений — это все числа, большие или равные 1.
$E(f) = [1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-2; +\infty)$; область значений $E(f) = [1; +\infty)$.

в)

Область определения ($D(f)$): График функции уходит влево в бесконечность и заканчивается в точке с абсциссой $x = 3$. Эта конечная точка выколота. Следовательно, область определения — это все числа, строго меньшие 3.
$D(f) = (-\infty; 3)$.

Область значений ($E(f)$): График функции приходит сверху из бесконечности и приближается к значению $y = 1$ при $x \to 3$. Так как точка с абсциссой 3 выколота, значение $y=1$ не достигается. Таким образом, область значений — это все числа, строго большие 1.
$E(f) = (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 3)$; область значений $E(f) = (1; +\infty)$.

г)

Область определения ($D(f)$): График представляет собой горизонтальный отрезок, у которого обе конечные точки выколоты. Абсциссы этих точек равны $x = -3$ и $x = 4$. Таким образом, область определения — это интервал от -3 до 4.
$D(f) = (-3; 4)$.

Область значений ($E(f)$): Для всех значений $x$ из области определения функция принимает одно и то же значение $y = 2$. Следовательно, область значений состоит из одного единственного числа.
$E(f) = \{2\}$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-3; 4)$; область значений $E(f) = \{2\}$.

д)

Область определения ($D(f)$): График состоит из двух изолированных точек. Функция определена только для абсцисс этих точек. Координаты точек: $(1, 1)$ и $(3, -2)$. Таким образом, область определения состоит из двух чисел.
$D(f) = \{1; 3\}$.

Область значений ($E(f)$): Функция принимает только те значения, которые являются ординатами заданных точек. Это $y = 1$ и $y = -2$. Таким образом, область значений состоит из двух чисел.
$E(f) = \{-2; 1\}$.

Ответ: Область определения $D(f) = \{1; 3\}$; область значений $E(f) = \{-2; 1\}$.