Номер 4, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 4, страница 185.

Условие.

4. Всякая ли фигура может служить графиком функции?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Нет, не всякая фигура на координатной плоскости может служить графиком функции.

По определению, функция — это такое правило, по которому каждому значению независимой переменной $x$ из некоторого множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

График функции $y = f(x)$ — это множество всех точек на плоскости с координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют данному правилу. Ключевое требование — «единственное значение $y$». Это значит, что для одного и того же значения $x$ не может существовать двух или более разных значений $y$.

Это требование приводит к простому и наглядному способу проверки, который называется тестом с вертикальной прямой.

Суть теста: если можно провести хотя бы одну вертикальную прямую (то есть прямую, параллельную оси $Oy$), которая пересекает рассматриваемую фигуру более чем в одной точке, то эта фигура не является графиком функции. Если же любая вертикальная прямая пересекает фигуру не более чем в одной точке, то фигура может быть графиком функции.

Примеры фигур, которые являются графиками функций:

• Любая невертикальная прямая, например, график функции $y = kx + b$. Любая вертикальная прямая пересекает ее ровно один раз.
• Парабола с ветвями вверх или вниз, например, график функции $y = x^2$. Любая вертикальная прямая пересекает ее также ровно в одной точке.

Примеры фигур, которые НЕ являются графиками функций:

• Окружность. Возьмем окружность, заданную уравнением $x^2 + y^2 = 4$. Вертикальная прямая $x=1$ пересекает эту окружность в двух точках: $(1, \sqrt{3})$ и $(1, -\sqrt{3})$. Это означает, что одному значению $x=1$ соответствуют два разных значения $y$, что противоречит определению функции.
• Парабола с ветвями вправо или влево. Например, фигура, заданная уравнением $x = y^2$. Вертикальная прямая $x=9$ пересекает ее в двух точках: $(9, 3)$ и $(9, -3)$.
• Вертикальная прямая, например, $x = 2$. Здесь одному значению $x=2$ соответствует бесконечное множество значений $y$.

Ответ: Нет, не всякая фигура может быть графиком функции. Графиком функции является только такая фигура, у которой любая вертикальная прямая имеет с ней не более одной общей точки.