Номер 1014, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1014, страница 187.

Условие.

1014. Найдите область определения и область значений функции, график которой изображён на рисунке 45.

Рис. 45

а) Область определения: $D(y) = [-2.5; 2)$

Область значений: $E(y) = (-1.5; 3]$

б) Область определения: $D(y) = [-2; 2]$

Область значений: $E(y) = [1; 3]$

в) Область определения: $D(y) = [-2; 2)$

Область значений: $E(y) = [0.5; 4)$

г) Область определения: $D(y) = [-2; 1)$

Область значений: $E(y) = \{-0.5\}$

д) Область определения: $D(y) = \{-1; 1\}$

Область значений: $E(y) = \{-1; 2\}$

Решение 1.

Решение 5.

а)

Область определения функции (обозначается $D(y)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. На графике это проекция всех точек на ось абсцисс (ось $Ox$). Для данного графика крайняя левая точка имеет абсциссу $x = -2$, и она включена в график (на конце нет выколотой точки). Крайняя правая точка имеет абсциссу $x = 2$, но она не включена в график (обозначена пустым, или «выколотым», кружком). Таким образом, область определения — это промежуток от -2 включительно до 2 не включительно.

Область значений функции (обозначается $E(y)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике это проекция всех точек на ось ординат (ось $Oy$). Наибольшее значение функция достигает в вершине параболы, это $y=3$. Наименьшее значение стремится к $y=0$ в выколотой точке $(2, 0)$. Поскольку точка выколота, значение $0$ не достигается. Следовательно, область значений — это промежуток от 0 не включительно до 3 включительно.

Ответ: область определения $D(y) = [-2; 2)$, область значений $E(y) = (0; 3]$.

б)

Область определения $D(y)$. Проецируем график на ось $Ox$. График представляет собой отрезок прямой, крайняя левая точка которого имеет абсциссу $x=-2$, а крайняя правая — $x=2$. Обе конечные точки отрезка не выколоты, значит они принадлежат графику. Следовательно, область определения — это промежуток от -2 до 2, включая концы.

Область значений $E(y)$. Проецируем график на ось $Oy$. Функция является убывающей на всей области определения. Наибольшее значение достигается в левой крайней точке: $y=3$ при $x=-2$. Наименьшее значение достигается в правой крайней точке: $y=1$ при $x=2$. Оба значения включены, так как точки принадлежат графику. Таким образом, область значений — это промежуток от 1 до 3 включительно.

Ответ: область определения $D(y) = [-2; 2]$, область значений $E(y) = [1; 3]$.

в)

Область определения $D(y)$. Проецируем график на ось $Ox$. Крайняя левая точка имеет абсциссу $x=-3$ и она включена. Крайняя правая точка имеет абсциссу $x=2$ и она выколота. Значит, область определения — это промежуток от -3 включительно до 2 не включительно.

Область значений $E(y)$. Проецируем график на ось $Oy$. Функция является возрастающей. Наименьшее значение достигается в левой крайней точке: $y=1$ при $x=-3$. Это значение включено. Наибольшее значение стремится к $y=3$ в правой выколотой точке. Это значение не достигается. Таким образом, область значений — это промежуток от 1 включительно до 3 не включительно.

Ответ: область определения $D(y) = [-3; 2)$, область значений $E(y) = [1; 3)$.

г)

Область определения $D(y)$. Проецируем график на ось $Ox$. График — это горизонтальный отрезок. Его левая конечная точка при $x=-3$ включена, а правая конечная точка при $x=2$ выколота. Следовательно, область определения — это промежуток от -3 включительно до 2 не включительно.

Область значений $E(y)$. Проецируем график на ось $Oy$. Все точки графика имеют одну и ту же ординату $y=-2$. Это означает, что функция принимает только одно значение. Таким образом, область значений состоит из одного числа -2.

Ответ: область определения $D(y) = [-3; 2)$, область значений $E(y) = \{-2\}$.

д)

Область определения $D(y)$. График состоит из двух отдельных точек. Область определения — это множество абсцисс (координат $x$) этих точек. Координаты точек: $(-2, 2)$ и $(1, -2)$. Абсциссы этих точек: -2 и 1. Таким образом, область определения — это множество из двух чисел.

Область значений $E(y)$. Область значений — это множество ординат (координат $y$) этих точек. Ординаты этих точек: 2 и -2. Таким образом, область значений — это также множество из двух чисел.

Ответ: область определения $D(y) = \{-2; 1\}$, область значений $E(y) = \{-2; 2\}$.