Номер 5, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 5, страница 185.

Условие.

5. Приведите пример фигуры, которая не может являться графиком функции.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы некоторая фигура на координатной плоскости являлась графиком функции $y = f(x)$, она должна удовлетворять основному свойству функции: каждому значению аргумента $x$ из области определения должно соответствовать единственное значение функции $y$.

Графически это проверяется с помощью так называемого теста вертикальной прямой. Если можно провести хотя бы одну вертикальную прямую (прямую, параллельную оси ординат), которая пересекает фигуру более чем в одной точке, то эта фигура не является графиком функции. Это связано с тем, что для значения $x$, через которое проходит такая вертикальная прямая, существует несколько значений $y$, что противоречит определению функции.

Одним из самых наглядных примеров такой фигуры является окружность. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$ имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Если мы попробуем выразить $y$ через $x$, мы получим $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$. Видно, что для любого значения $x$ из интервала $(-R, R)$ существует два соответствующих значения $y$. Например, вертикальная прямая $x=0$ пересекает окружность в двух точках: $(0, R)$ и $(0, -R)$. Следовательно, окружность не может быть графиком функции.

Другим простым примером является любая вертикальная прямая, заданная уравнением $x = c$, где $c$ — константа. В этом случае одному значению аргумента $x=c$ соответствует бесконечное множество значений $y$, что является прямым нарушением определения функции.

Также можно привести в пример параболу, "лежащую на боку", например, заданную уравнением $x = y^2$. Для любого положительного $x$ существует два значения $y = \pm\sqrt{x}$, поэтому она также не является графиком функции.

Ответ: Примером фигуры, которая не может являться графиком функции, является окружность (например, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 1$), любая вертикальная прямая (например, $x=3$) или парабола, заданная уравнением $x=y^2$.