Номер 3, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Может ли график функции состоять из одной точки?

Ответ: Да, может.

График функции может состоять из одной точки в том случае, если область определения функции ($\text{D}(f)$) содержит всего одно число. В школьной программе такие случаи обычно встречаются в задачах с квадратными корнями или суммами квадратов.

Примеры:

• Функция с корнями: $y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}$.
  Корень $\sqrt{x}$ определен при $x \ge 0$, а корень $\sqrt{-x}$ — при $x \le 0$. Единственное число, которое подходит под оба условия — это $x = 0$.
  При $x = 0$ получаем $y = 0$. График этой функции — одна точка с координатами $(0; 0)$.
• Уравнение окружности нулевого радиуса: $y^2 + x^2 = 0$.
  Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда и $x=0$, и $y=0$. Это тоже точка $(0; 0)$.
• Функция вида: $y = \sqrt{-(x-3)^2}$.
  Поскольку выражение под корнем не может быть отрицательным, а $-(x-3)^2$ всегда $\le 0$, то единственное возможное значение $x = 3$. Тогда $y = 0$. График — точка $(3; 0)$.

Такие функции называют "вырожденными". Хотя они выглядят необычно, они полностью соответствуют определению функции: каждому значению $x$ из области определения соответствует единственное значение $y$.