Номер 1007, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Способы задания функции. Глава 2. Функции - номер 1007, страница 180.

Условие.

1007. Известно, что $x + y = \frac{a^2}{4}$, $y + z = -a$, $x + z = 1$. Докажите, что выражение $x + y + z$ принимает только неотрицательные значения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства утверждения воспользуемся данной системой уравнений:

$x + y = \frac{a^2}{4}$

$y + z = -a$

$x + z = 1$

Сложим все три уравнения системы, чтобы найти выражение для суммы $x + y + z$:

$(x + y) + (y + z) + (x + z) = \frac{a^2}{4} + (-a) + 1$

Упростим левую часть уравнения, сгруппировав переменные:

$2x + 2y + 2z = \frac{a^2}{4} - a + 1$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(x + y + z) = \frac{a^2}{4} - a + 1$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить искомую сумму:

$x + y + z = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{4} - a + 1 \right)$

Рассмотрим выражение, находящееся в скобках: $\frac{a^2}{4} - a + 1$. Данное выражение является полным квадратом разности. Используя формулу $(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$, мы можем его свернуть:

$\frac{a^2}{4} - a + 1 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot 1 + 1^2 = \left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$

Подставим полученный результат обратно в выражение для суммы:

$x + y + z = \frac{1}{2}\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2 \ge 0$ для любого значения параметра $a$.

Поскольку множитель $\frac{1}{2}$ положителен, произведение $\frac{1}{2}\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$ также всегда будет неотрицательным.

Таким образом, мы доказали, что $x + y + z \ge 0$ для любых значений переменных, удовлетворяющих исходным условиям.

Ответ: Выражение $x + y + z$ было преобразовано к виду $\frac{1}{2}\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$. Так как квадрат любого числа является неотрицательной величиной, а множитель $\frac{1}{2}$ положителен, то все выражение принимает только неотрицательные значения, что и требовалось доказать.