Номер 1004, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Способы задания функции. Глава 2. Функции - номер 1004, страница 180.

Условие.

1004. Какое из следующих уравнений:

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет бесконечно много корней;

г) не имеет ни одного корня:

1) $3,4(1 + 3x) - 1,2 = 2(1,1 + 5,1x);$

2) $|2x - 1| = 17,3;$

3) $3(|x - 1| - 6) + 21 = 0;$

4) $0,2(7 - 2x) = 2,3 - 0,3(x - 6)?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, сколько корней имеет каждое уравнение, решим их поочередно.

1) Решим уравнение $3.4(1 + 3x) - 1.2 = 2(1.1 + 5.1x)$:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3.4 \cdot 1 + 3.4 \cdot 3x - 1.2 = 2 \cdot 1.1 + 2 \cdot 5.1x$
$3.4 + 10.2x - 1.2 = 2.2 + 10.2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(3.4 - 1.2) + 10.2x = 2.2 + 10.2x$
$2.2 + 10.2x = 2.2 + 10.2x$
Мы получили тождество, верное при любом значении $x$. Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней.

2) Решим уравнение $|2x - 1| = 17.3$:

Это уравнение с модулем. Оно распадается на два случая, так как значение под модулем может быть как положительным, так и отрицательным:
а) $2x - 1 = 17.3$
$2x = 17.3 + 1$
$2x = 18.3$
$x_1 = 9.15$
б) $2x - 1 = -17.3$
$2x = -17.3 + 1$
$2x = -16.3$
$x_2 = -8.15$
Уравнение имеет два различных корня.

3) Решим уравнение $3(|x - 1| - 6) + 21 = 0$:

Выразим из уравнения модуль $|x-1|$:
$3(|x - 1| - 6) = -21$
Разделим обе части уравнения на 3:
$|x - 1| - 6 = -7$
$|x - 1| = -7 + 6$
$|x - 1| = -1$
По определению, модуль (абсолютная величина) любого числа не может быть отрицательным. Так как в правой части стоит отрицательное число (-1), данное уравнение не имеет решений (корней).

4) Решим уравнение $0.2(7 - 2x) = 2.3 - 0.3(x - 6)$:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$0.2 \cdot 7 - 0.2 \cdot 2x = 2.3 - 0.3 \cdot x - 0.3 \cdot (-6)$
$1.4 - 0.4x = 2.3 - 0.3x + 1.8$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$1.4 - 0.4x = 4.1 - 0.3x$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$-0.4x + 0.3x = 4.1 - 1.4$
$-0.1x = 2.7$
Найдем $x$:
$x = \frac{2.7}{-0.1}$
$x = -27$
Уравнение имеет один корень.

Теперь сопоставим результаты с пунктами вопроса:

а) имеет один корень

Это уравнение $0.2(7 - 2x) = 2.3 - 0.3(x - 6)$, так как его решение $x = -27$ является единственным.

Ответ: уравнение 4).

б) имеет два корня

Это уравнение $|2x - 1| = 17.3$, так как оно имеет два корня: $x_1 = 9.15$ и $x_2 = -8.15$.

Ответ: уравнение 2).

в) имеет бесконечно много корней

Это уравнение $3.4(1 + 3x) - 1.2 = 2(1.1 + 5.1x)$, так как оно сводится к тождеству $2.2 + 10.2x = 2.2 + 10.2x$, верному для любого $x$.

Ответ: уравнение 1).

г) не имеет ни одного корня

Это уравнение $3(|x - 1| - 6) + 21 = 0$, так как оно сводится к неверному равенству $|x - 1| = -1$.

Ответ: уравнение 3).