Страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

999. Функции заданы формулами $y = x^2 - 8x$ и $y = 4 - 8x$. При каких значениях аргумента эти функции принимают равные значения?

Для того чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значения функций $y = x^2 - 8x$ и $y = 4 - 8x$ равны, необходимо приравнять правые части этих формул.

Составим и решим уравнение:
$x^2 - 8x = 4 - 8x$

Чтобы решить это уравнение, прибавим к обеим его частям $8x$. Это позволит упростить уравнение, так как слагаемые, содержащие $x$ в первой степени, взаимно уничтожатся.
$x^2 - 8x + 8x = 4 - 8x + 8x$
$x^2 = 4$

Получили неполное квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное.
$x_1 = \sqrt{4} = 2$
$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Таким образом, мы нашли два значения аргумента, при которых функции принимают равные значения. Проведем проверку для каждого из найденных корней.

1. Проверка для $x = 2$:
Подставим это значение в обе исходные функции:
$y = (2)^2 - 8 \cdot 2 = 4 - 16 = -12$
$y = 4 - 8 \cdot 2 = 4 - 16 = -12$
Значения совпали, значит, $x = 2$ является верным решением.

2. Проверка для $x = -2$:
Подставим это значение в обе исходные функции:
$y = (-2)^2 - 8 \cdot (-2) = 4 + 16 = 20$
$y = 4 - 8 \cdot (-2) = 4 + 16 = 20$
Значения также совпали, значит, $x = -2$ является верным решением.

Ответ: данные функции принимают равные значения при значениях аргумента $x = -2$ и $x = 2$.

1000. Функция задана формулой $f(x) = 3x + 5$. При каком значении $x$ значение функции равно значению аргумента?

Дана функция, заданная формулой $f(x) = 3x + 5$.

Согласно условию задачи, необходимо найти такое значение аргумента $x$, при котором значение функции $f(x)$ будет равно самому аргументу $x$. Это можно записать в виде уравнения:

$f(x) = x$

Теперь подставим в это уравнение выражение для функции $f(x)$:

$3x + 5 = x$

Для решения этого линейного уравнения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Вычтем $x$ из обеих частей уравнения и вычтем 5 из обеих частей:

$3x - x = -5$

Упростим левую часть уравнения:

$2x = -5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{-5}{2}$

$x = -2.5$

Таким образом, при $x = -2.5$ значение функции равно значению аргумента.

Проверка:

$f(-2.5) = 3 \cdot (-2.5) + 5 = -7.5 + 5 = -2.5$.

Так как $f(-2.5) = -2.5$, значение найдено верно.

Ответ: $-2.5$.

1001. Функция задана формулой $y = x^2 + 2x - 1$. При каких значениях x значение функции равно удвоенному значению аргумента?

По условию задачи, значение функции $y$ должно быть равно удвоенному значению аргумента $x$. Запишем это условие в виде уравнения:

$y = 2x$

Нам дана функция, заданная формулой $y = x^2 + 2x - 1$. Чтобы найти искомые значения $x$, приравняем два выражения для $y$:

$x^2 + 2x - 1 = 2x$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

$x^2 + 2x - 2x - 1 = 0$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Его можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Таким образом, мы нашли два значения аргумента, при которых значение функции равно удвоенному значению аргумента.

Ответ: при $x = -1$ и $x = 1$.

1002. Функция $f$ задана описательно: значение функции равно наибольшему целому числу, которое не превосходит соответствующего значения аргумента¹. Найдите $f(3.7); f(0.64); f(2); f(0); f(-0.35); f(-2.8)$.

Функция $f$ задана описательно: значение функции $f(x)$ равно наибольшему целому числу, которое не превосходит $x$. Это определение соответствует математической функции «целая часть числа» или «антье», которая обозначается как $f(x) = [x]$ или $f(x) = \lfloor x \rfloor$. По определению, $\lfloor x \rfloor$ — это наибольшее целое число $n$, такое что $n \le x$.

Найдем значения функции для заданных аргументов:

f(3,7)
Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит 3,7. Целые числа, которые меньше или равны 3,7, это ..., 1, 2, 3. Наибольшее из них — 3.
Математически это записывается как $f(3,7) = \lfloor 3.7 \rfloor = 3$.
Ответ: 3

f(0,64)
Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит 0,64. Целые числа, которые меньше или равны 0,64, это ..., -2, -1, 0. Наибольшее из них — 0.
Математически это записывается как $f(0,64) = \lfloor 0.64 \rfloor = 0$.
Ответ: 0

f(2)
Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит 2. Поскольку 2 само является целым числом, то наибольшее целое число, не превосходящее 2, это и есть 2.
Математически это записывается как $f(2) = \lfloor 2 \rfloor = 2$.
Ответ: 2

f(0)
Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит 0. Поскольку 0 само является целым числом, то наибольшее целое число, не превосходящее 0, это и есть 0.
Математически это записывается как $f(0) = \lfloor 0 \rfloor = 0$.
Ответ: 0

f(-0,35)
Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит -0,35. На числовой оси -0,35 находится между -1 и 0. Целые числа, которые меньше или равны -0,35, это ..., -3, -2, -1. Наибольшее из них — -1. (Важно не путать с округлением до ближайшего целого).
Математически это записывается как $f(-0,35) = \lfloor -0.35 \rfloor = -1$.
Ответ: -1

f(-2,8)
Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит -2,8. На числовой оси -2,8 находится между -3 и -2. Целые числа, которые меньше или равны -2,8, это ..., -4, -3. Наибольшее из них — -3.
Математически это записывается как $f(-2,8) = \lfloor -2.8 \rfloor = -3$.
Ответ: -3

1003. В этом году фермер сократил площадь огорода, отведённую под капусту, на 10%. Урожайность капусты в этом году повысилась на 12% по сравнению с прошлым годом. Увеличился или уменьшился урожай капусты по сравнению с прошлым годом и на сколько процентов?

Для решения задачи введем переменные, описывающие показатели прошлого и этого года.

Пусть $S_1$ — площадь огорода под капусту в прошлом году, а $Y_1$ — урожайность капусты (количество урожая с единицы площади) в прошлом году. Тогда общий урожай капусты в прошлом году, который мы обозначим как $H_1$, равен произведению площади на урожайность:

$H_1 = S_1 \times Y_1$

Теперь определим показатели для этого года с учетом изменений, указанных в условии.

Площадь огорода сократилась на 10%. Это означает, что новая площадь $S_2$ составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от прошлогодней площади. В виде десятичной дроби это 0.9:

$S_2 = S_1 \times (1 - 0.10) = 0.9 \times S_1$

Урожайность повысилась на 12%. Это означает, что новая урожайность $Y_2$ составляет $100\% + 12\% = 112\%$ от прошлогодней. В виде десятичной дроби это 1.12:

$Y_2 = Y_1 \times (1 + 0.12) = 1.12 \times Y_1$

Чтобы найти общий урожай в этом году ($H_2$), нужно перемножить новую площадь на новую урожайность:

$H_2 = S_2 \times Y_2$

Подставим в эту формулу выражения для $S_2$ и $Y_2$:

$H_2 = (0.9 \times S_1) \times (1.12 \times Y_1)$

Перегруппируем множители, чтобы сравнить урожай этого года с прошлогодним:

$H_2 = (0.9 \times 1.12) \times (S_1 \times Y_1)$

Так как $S_1 \times Y_1 = H_1$, то:

$H_2 = (0.9 \times 1.12) \times H_1$

Вычислим произведение в скобках:

$0.9 \times 1.12 = 1.008$

Таким образом, мы получаем связь между урожаем этого и прошлого года:

$H_2 = 1.008 \times H_1$

Коэффициент 1.008 показывает, что урожай этого года составляет 100.8% от прошлогоднего ($1.008 \times 100\% = 100.8\%$).

Поскольку 100.8% больше 100%, урожай увеличился. Чтобы найти, на сколько процентов он увеличился, вычтем из нового процентного значения старое:

$100.8\% - 100\% = 0.8\%$

Ответ: Урожай капусты увеличился на 0.8%.

1004. Какое из следующих уравнений:

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет бесконечно много корней;

г) не имеет ни одного корня:

1) $3,4(1 + 3x) - 1,2 = 2(1,1 + 5,1x);$

2) $|2x - 1| = 17,3;$

3) $3(|x - 1| - 6) + 21 = 0;$

4) $0,2(7 - 2x) = 2,3 - 0,3(x - 6)?$

Для того чтобы определить, сколько корней имеет каждое уравнение, решим их поочередно.

1) Решим уравнение $3.4(1 + 3x) - 1.2 = 2(1.1 + 5.1x)$:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3.4 \cdot 1 + 3.4 \cdot 3x - 1.2 = 2 \cdot 1.1 + 2 \cdot 5.1x$
$3.4 + 10.2x - 1.2 = 2.2 + 10.2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(3.4 - 1.2) + 10.2x = 2.2 + 10.2x$
$2.2 + 10.2x = 2.2 + 10.2x$
Мы получили тождество, верное при любом значении $x$. Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней.

2) Решим уравнение $|2x - 1| = 17.3$:

Это уравнение с модулем. Оно распадается на два случая, так как значение под модулем может быть как положительным, так и отрицательным:
а) $2x - 1 = 17.3$
$2x = 17.3 + 1$
$2x = 18.3$
$x_1 = 9.15$
б) $2x - 1 = -17.3$
$2x = -17.3 + 1$
$2x = -16.3$
$x_2 = -8.15$
Уравнение имеет два различных корня.

3) Решим уравнение $3(|x - 1| - 6) + 21 = 0$:

Выразим из уравнения модуль $|x-1|$:
$3(|x - 1| - 6) = -21$
Разделим обе части уравнения на 3:
$|x - 1| - 6 = -7$
$|x - 1| = -7 + 6$
$|x - 1| = -1$
По определению, модуль (абсолютная величина) любого числа не может быть отрицательным. Так как в правой части стоит отрицательное число (-1), данное уравнение не имеет решений (корней).

4) Решим уравнение $0.2(7 - 2x) = 2.3 - 0.3(x - 6)$:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$0.2 \cdot 7 - 0.2 \cdot 2x = 2.3 - 0.3 \cdot x - 0.3 \cdot (-6)$
$1.4 - 0.4x = 2.3 - 0.3x + 1.8$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$1.4 - 0.4x = 4.1 - 0.3x$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$-0.4x + 0.3x = 4.1 - 1.4$
$-0.1x = 2.7$
Найдем $x$:
$x = \frac{2.7}{-0.1}$
$x = -27$
Уравнение имеет один корень.

Теперь сопоставим результаты с пунктами вопроса:

а) имеет один корень

Это уравнение $0.2(7 - 2x) = 2.3 - 0.3(x - 6)$, так как его решение $x = -27$ является единственным.

Ответ: уравнение 4).

б) имеет два корня

Это уравнение $|2x - 1| = 17.3$, так как оно имеет два корня: $x_1 = 9.15$ и $x_2 = -8.15$.

Ответ: уравнение 2).

в) имеет бесконечно много корней

Это уравнение $3.4(1 + 3x) - 1.2 = 2(1.1 + 5.1x)$, так как оно сводится к тождеству $2.2 + 10.2x = 2.2 + 10.2x$, верному для любого $x$.

Ответ: уравнение 1).

г) не имеет ни одного корня

Это уравнение $3(|x - 1| - 6) + 21 = 0$, так как оно сводится к неверному равенству $|x - 1| = -1$.

Ответ: уравнение 3).

1005. Даны три числа, из которых каждое следующее на 10 больше предыдущего. Найдите эти числа, если произведение наибольшего и среднего из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел.

Пусть наименьшее из трех чисел равно $x$.

Поскольку каждое следующее число на 10 больше предыдущего, то эти три числа можно представить следующим образом:
Наименьшее число: $x$
Среднее число: $x + 10$
Наибольшее число: $x + 10 + 10 = x + 20$

Согласно условию, произведение наибольшего и среднего чисел на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего. Составим уравнение на основе этого условия:
$(x + 20)(x + 10) = (x + 20)x + 320$

Для решения уравнения перенесем слагаемое $(x + 20)x$ из правой части в левую:
$(x + 20)(x + 10) - (x + 20)x = 320$

Вынесем общий множитель $(x + 20)$ за скобки:
$(x + 20)((x + 10) - x) = 320$

Упростим выражение во второй скобке:
$(x + 20) \cdot 10 = 320$

Разделим обе части уравнения на 10:
$x + 20 = 32$

Найдем $x$:
$x = 32 - 20$
$x = 12$

Итак, наименьшее число равно 12. Теперь найдем остальные два числа:
Среднее число: $12 + 10 = 22$.
Наибольшее число: $12 + 20 = 32$.

Искомые числа: 12, 22, 32.

Проверим правильность решения:
Произведение наибольшего и среднего чисел: $32 \cdot 22 = 704$.
Произведение наибольшего и наименьшего чисел: $32 \cdot 12 = 384$.
Разница между ними: $704 - 384 = 320$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 12, 22, 32.

1006. Докажите, что если $a + c = 2b$, то $a^2 + 8bc = (2b + c)^2$.

Чтобы доказать данное тождество, воспользуемся методом подстановки. Нам дано условие $a + c = 2b$. Из этого условия выразим переменную $a$:

$a = 2b - c$

Теперь подставим это выражение для $a$ в левую часть равенства, которое нам нужно доказать: $a^2 + 8bc$.

$a^2 + 8bc = (2b - c)^2 + 8bc$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(2b - c)^2 + 8bc = ((2b)^2 - 2 \cdot 2b \cdot c + c^2) + 8bc = (4b^2 - 4bc + c^2) + 8bc$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$4b^2 - 4bc + c^2 + 8bc = 4b^2 + 4bc + c^2$

Полученное выражение $4b^2 + 4bc + c^2$ можно свернуть по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x = 2b$ и $y = c$:

$4b^2 + 4bc + c^2 = (2b)^2 + 2 \cdot 2b \cdot c + c^2 = (2b + c)^2$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства $a^2 + 8bc$ и получили правую часть $(2b + c)^2$. Это доказывает, что если $a + c = 2b$, то равенство $a^2 + 8bc = (2b + c)^2$ является верным.

Ответ: Равенство доказано.

1007. Известно, что $x + y = \frac{a^2}{4}$, $y + z = -a$, $x + z = 1$. Докажите, что выражение $x + y + z$ принимает только неотрицательные значения.

Для доказательства утверждения воспользуемся данной системой уравнений:

$x + y = \frac{a^2}{4}$

$y + z = -a$

$x + z = 1$

Сложим все три уравнения системы, чтобы найти выражение для суммы $x + y + z$:

$(x + y) + (y + z) + (x + z) = \frac{a^2}{4} + (-a) + 1$

Упростим левую часть уравнения, сгруппировав переменные:

$2x + 2y + 2z = \frac{a^2}{4} - a + 1$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(x + y + z) = \frac{a^2}{4} - a + 1$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить искомую сумму:

$x + y + z = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{4} - a + 1 \right)$

Рассмотрим выражение, находящееся в скобках: $\frac{a^2}{4} - a + 1$. Данное выражение является полным квадратом разности. Используя формулу $(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$, мы можем его свернуть:

$\frac{a^2}{4} - a + 1 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot 1 + 1^2 = \left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$

Подставим полученный результат обратно в выражение для суммы:

$x + y + z = \frac{1}{2}\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2 \ge 0$ для любого значения параметра $a$.

Поскольку множитель $\frac{1}{2}$ положителен, произведение $\frac{1}{2}\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$ также всегда будет неотрицательным.

Таким образом, мы доказали, что $x + y + z \ge 0$ для любых значений переменных, удовлетворяющих исходным условиям.

Ответ: Выражение $x + y + z$ было преобразовано к виду $\frac{1}{2}\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$. Так как квадрат любого числа является неотрицательной величиной, а множитель $\frac{1}{2}$ положителен, то все выражение принимает только неотрицательные значения, что и требовалось доказать.

1008. Постройте прямую, проходящую через точки A $A(-2; 3)$ и B $B(4; 3)$. Чему равны ординаты точек этой прямой?

Для построения прямой, проходящей через точки A$(-2; 3)$ и B$(4; 3)$, необходимо отметить эти точки в декартовой системе координат. Точка A имеет абсциссу $x = -2$ и ординату $y = 3$. Точка B имеет абсциссу $x = 4$ и ординату $y = 3$. Соединив эти две точки прямой линией, мы получим искомый график.

Чтобы ответить на вопрос, чему равны ординаты точек этой прямой, проанализируем координаты заданных точек. Мы видим, что у обеих точек A и B ордината (координата $y$) одинакова и равна 3.

Это наблюдение позволяет сделать вывод, что прямая является горизонтальной, то есть параллельной оси абсцисс (оси Ox). Уравнение любой такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это постоянное значение ординаты для всех точек прямой.

Для проверки найдем уравнение прямой, проходящей через точки A$(x_1, y_1)$ и B$(x_2, y_2)$, по общей формуле: $$(y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1)$$ Подставим координаты наших точек A$(-2; 3)$ и B$(4; 3)$: $$(y - 3)(4 - (-2)) = (x - (-2))(3 - 3)$$ $$(y - 3)(4 + 2) = (x + 2)(0)$$ $$(y - 3) \cdot 6 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 6: $$y - 3 = 0$$ Отсюда получаем уравнение прямой: $$y = 3$$

Уравнение $y = 3$ подтверждает, что для любой точки, принадлежащей данной прямой, ее ордината (координата $y$) всегда постоянна и равна 3, независимо от значения ее абсциссы (координаты $x$).

Ответ: Ординаты всех точек этой прямой равны 3.

1009. Постройте прямую, проходящую через точки $C(3; 0)$ и $D(3; -4)$. Чему равны абсциссы точек этой прямой?

Постройте прямую, проходящую через точки C(3; 0) и D(3; -4).

Для построения прямой в прямоугольной системе координат необходимо отметить заданные точки и соединить их.

1. Отметим точку $C(3; 0)$. Её абсцисса равна 3, а ордината — 0. Эта точка лежит на оси абсцисс (Ox).
2. Отметим точку $D(3; -4)$. Её абсцисса равна 3, а ордината — -4.
3. Проведем прямую через точки C и D.

Поскольку абсциссы (координаты $x$) обеих точек одинаковы и равны 3, то прямая, проходящая через них, будет вертикальной линией, параллельной оси ординат (Oy). Уравнение этой прямой $x=3$.

Ответ: Построенная прямая является вертикальной линией, параллельной оси Oy и проходящей через точку $(3; 0)$ на оси Ox.

Чему равны абсциссы точек этой прямой?

Абсцисса точки — это ее координата по горизонтальной оси (оси Ox). В координатной записи $(x; y)$ абсциссой является $x$.

Рассмотрим заданные точки:

• У точки $C(3; 0)$ абсцисса равна 3.
• У точки $D(3; -4)$ абсцисса равна 3.

Поскольку прямая является вертикальной и описывается уравнением $x=3$, любая точка, лежащая на этой прямой, будет иметь абсциссу, равную 3. Ордината (координата $y$) при этом может принимать любое действительное значение.

Ответ: Абсциссы всех точек этой прямой равны 3.