Страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что надо указать, чтобы функция считалась заданной?

Чтобы функция считалась заданной, необходимо указать три ключевых элемента, которые полностью определяют эту зависимость. Формально, функция $f$ — это тройка $(X, Y, F)$, где $X$ — область определения, $Y$ — область прибытия, а $F$ — правило (график функции).

1. Область определения функции ($D(f)$ или $X$)

Это множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента), обычно обозначаемой как $x$. Для каждого элемента $x$ из этого множества функция должна быть определена, то есть ему должно быть сопоставлено некоторое значение $y$. Например, если функция задана формулой $y = \frac{1}{x-2}$, то ее область определения — все действительные числа, кроме $2$, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. Это записывается как $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}, x \neq 2$.

2. Множество значений функции ($E(f)$ или $Y$)

Это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная (функция), обычно обозначаемая как $y$, когда аргумент $x$ пробегает всю область определения. Например, для функции $y = x^2$ с областью определения $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа), множество значений будет $E(f) = [0; +\infty)$, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Строго говоря, при задании функции указывают множество прибытия (кодомен) — множество, которому принадлежат все возможные значения функции. Множество значений ($E(f)$) является подмножеством множества прибытия. В школьном курсе математики эти понятия часто не разделяют и под областью значений понимают именно множество $E(f)$.

3. Правило соответствия (закон $f$)

Это правило, по которому каждому элементу $x$ из области определения $D(f)$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества прибытия. Это правило — самая суть функции. Оно может быть задано несколькими способами:

• Аналитический способ: с помощью математической формулы. Это самый распространенный способ. Например, $y = 2x - 5$ или $f(x) = \sin(x) + \sqrt{x}$.
• Графический способ: с помощью графика. График функции — это множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости, где $x$ принадлежит области определения функции, а $y = f(x)$. Любая вертикальная прямая $x = c$ (где $c$ из области определения) должна пересекать график ровно в одной точке.
• Табличный способ: с помощью таблицы, в которой для каждого значения аргумента из конечного множества указывается соответствующее значение функции. Этот способ удобен, когда область определения дискретна и состоит из небольшого числа элементов.
• Словесный способ: с помощью словесного описания правила. Например: "каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие сумма его цифр" или "каждому $x$ ставится в соответствие его целая часть $[x]$".

На практике, особенно в школьных задачах, часто задают только правило соответствия в виде формулы (например, $y = \sqrt{x}$). В таких случаях по умолчанию считается, что область определения — это множество всех действительных чисел, для которых данное аналитическое выражение имеет смысл (это называется естественной областью определения), а множество прибытия — все действительные числа $\mathbb{R}$.

Ответ: Чтобы функция считалась заданной, необходимо указать:
1. Область определения функции (множество всех допустимых значений аргумента $x$).
2. Множество прибытия функции (множество, содержащее все возможные значения $y$).
3. Правило (закон), по которому каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие единственное значение из множества прибытия.

2. Какие способы задания функции вы знаете?

Функция — это правило, по которому каждому элементу из одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент из другого множества (области значений). Задать функцию — значит указать это правило. Существует несколько основных способов задания функции.

Аналитический способ

При аналитическом способе функция задается с помощью одной или нескольких математических формул. Эта формула устанавливает, какие вычислительные операции нужно произвести над независимой переменной (аргументом) $x$, чтобы получить соответствующее значение зависимой переменной $y$.

Например:

• Линейная функция: $y = 2x + 5$
• Квадратичная функция: $f(x) = x^2 - 4x + 1$
• Кусочно-заданная функция (модуль числа): $y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Этот способ является наиболее универсальным и мощным в математике, так как позволяет точно вычислять значения функции и применять к ней методы математического анализа (находить производные, интегралы, исследовать на экстремумы и т.д.).

Ответ: Аналитический способ — это задание функции с помощью математической формулы.

Табличный способ

При этом способе функция задается с помощью таблицы, в которой для каждого значения аргумента $x$ из некоторого конечного множества указывается соответствующее ему значение функции $y$.

Например, таблица значений для функции $y=x^3$ на отрезке $[-2, 2]$ с шагом 1:

Этот способ часто используется на практике, например, при записи результатов наблюдений и экспериментов. Его недостаток заключается в том, что он задает функцию не полностью, а только для некоторых значений аргумента, и не дает информации о поведении функции между этими значениями.

Ответ: Табличный способ — это задание функции с помощью таблицы пар соответствующих значений аргумента и функции.

Графический способ

При графическом способе функция задается с помощью ее графика. Графиком функции $y=f(x)$ называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента $x$, а ординаты — соответствующим значениям функции $y$.

Этот способ очень нагляден. Он позволяет сразу получить представление об основных свойствах функции: ее возрастании и убывании, точках максимума и минимума, непрерывности, асимптотах. Однако, как правило, по графику можно найти лишь приближенные значения функции. Например, график параболы $y=x^2$ наглядно показывает, что функция убывает при $x<0$ и возрастает при $x>0$.

Ответ: Графический способ — это задание функции с помощью ее графика на координатной плоскости.

Словесный (описательный) способ

Этот способ состоит в том, что правило, по которому каждому значению аргумента $x$ ставится в соответствие значение функции $y$, описывается словами, без использования формул или графиков.

Примеры:

• Функция Дирихле: $D(x)$ равна 1, если $x$ — рациональное число, и 0, если $x$ — иррациональное число.
• Функция "целая часть числа": каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Обозначается $y = \lfloor x \rfloor$.
• Функция, которая каждому многоугольнику ставит в соответствие его площадь.

Словесный способ часто используется для введения новых функций или при описании зависимостей в гуманитарных и естественных науках.

Ответ: Словесный способ — это задание функции путем словесного описания правила соответствия.

973. Прочитайте следующую запись, укажите аргумент функции и зависимую переменную:

1) $s(t) = 70t;$

2) $y(x) = -2x + 4;$

3) $V(a) = a^3;$

4) $f(x) = x^2 - 4.$

В общем виде функция записывается как $y = f(x)$. В этой записи:

• $x$ — это аргумент функции, или независимая переменная.
• $y$ (или $f(x)$) — это значение функции, или зависимая переменная.
• $f$ — это правило (закон), по которому каждому значению аргумента $x$ ставится в соответствие единственное значение функции $y$.

Применим это к каждому случаю:

1) $s(t) = 70t$

Данная запись читается: "эс от тэ равно семьдесят тэ". Здесь значение переменной $s$ зависит от значения переменной $t$. Переменная, значение которой мы выбираем произвольно, называется аргументом (независимой переменной). В данном случае это $t$. Переменная, значение которой вычисляется на основе аргумента, называется зависимой переменной. В данном случае это $s$.
Ответ: аргумент функции – $t$, зависимая переменная – $s$.

2) $y(x) = -2x + 4$

Данная запись читается: "игрек от икс равно минус два икс плюс четыре". В этой функции значение переменной $y$ определяется значением переменной $x$. Таким образом, $x$ является независимой переменной (аргументом), а $y$ — зависимой переменной.
Ответ: аргумент функции – $x$, зависимая переменная – $y$.

3) $V(a) = a^3$

Данная запись читается: "вэ от а равно а в кубе". Здесь значение $V$ зависит от значения $a$. Следовательно, $a$ — это аргумент (независимая переменная), а $V$ — это зависимая переменная.
Ответ: аргумент функции – $a$, зависимая переменная – $V$.

4) $f(x) = x^2 - 4$

Данная запись читается: "эф от икс равно икс в квадрате минус четыре". Это классическая запись функции, где $x$ — это аргумент (независимая переменная). Значение всей функции, обозначаемое как $f(x)$, является зависимой переменной, так как его значение полностью определяется значением $x$.
Ответ: аргумент функции – $x$, зависимая переменная – $f(x)$.

974. Функция задана формулой $y = 10x + 1$. Найдите значение $y$, если:

1) $x = -1$;

2) $x = 3$;

3) $x = -\frac{1}{5}$;

4) $x = 7$.

Чтобы найти значение функции $y$ для каждого заданного значения $x$, нужно подставить это значение в формулу $y = 10x + 1$.

1) Подставим значение $x = -1$ в формулу:

$y = 10 \cdot (-1) + 1$

$y = -10 + 1$

$y = -9$

Ответ: -9

2) Подставим значение $x = 3$ в формулу:

$y = 10 \cdot 3 + 1$

$y = 30 + 1$

$y = 31$

Ответ: 31

3) Подставим значение $x = -\frac{1}{5}$ в формулу:

$y = 10 \cdot (-\frac{1}{5}) + 1$

$y = -\frac{10}{5} + 1$

$y = -2 + 1$

$y = -1$

Ответ: -1

4) Подставим значение $x = 7$ в формулу:

$y = 10 \cdot 7 + 1$

$y = 70 + 1$

$y = 71$

Ответ: 71

975. Функция задана формулой $f(x) = 3 - 4x$. Верно ли равенство:

1) $f(-2)=-5;$

2) $f\left(\frac{1}{2}\right)=1;$

3) $f(0)=-1;$

4) $f(-1)=7?$

Для проверки каждого равенства необходимо вычислить значение функции $f(x) = 3 - 4x$ при заданном значении $x$ и сравнить результат с указанным в равенстве.

1) $f(-2) = -5$;

Найдём значение функции при $x = -2$:

$f(-2) = 3 - 4 \cdot (-2) = 3 + 8 = 11$

Результат вычисления ($11$) не совпадает со значением в равенстве ($-5$), так как $11 \neq -5$.

Ответ: равенство неверно.

2) $f(\frac{1}{2}) = 1$;

Найдём значение функции при $x = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 - \frac{4}{2} = 3 - 2 = 1$

Результат вычисления ($1$) совпадает со значением в равенстве ($1$), так как $1 = 1$.

Ответ: равенство верно.

3) $f(0) = -1$;

Найдём значение функции при $x = 0$:

$f(0) = 3 - 4 \cdot 0 = 3 - 0 = 3$

Результат вычисления ($3$) не совпадает со значением в равенстве ($-1$), так как $3 \neq -1$.

Ответ: равенство неверно.

4) $f(-1) = 7$?

Найдём значение функции при $x = -1$:

$f(-1) = 3 - 4 \cdot (-1) = 3 + 4 = 7$

Результат вычисления ($7$) совпадает со значением в равенстве ($7$), так как $7 = 7$.

Ответ: равенство верно.

976. Функция задана формулой $f(x) = 7x - 5$. Найдите:

1) $f(2)$;

2) $f(0)$;

3) $f(-8)$;

4) $f(200)$.

Дана функция, заданная формулой $f(x) = 7x - 5$. Чтобы найти значение функции при определенном значении аргумента $x$, необходимо подставить это значение в формулу вместо $x$ и выполнить вычисления.

1) f(2)
Подставим $x = 2$ в формулу функции:
$f(2) = 7 \cdot 2 - 5$
$f(2) = 14 - 5$
$f(2) = 9$
Ответ: 9

2) f(0)
Подставим $x = 0$ в формулу функции:
$f(0) = 7 \cdot 0 - 5$
$f(0) = 0 - 5$
$f(0) = -5$
Ответ: -5

3) f(-3)
Подставим $x = -3$ в формулу функции:
$f(-3) = 7 \cdot (-3) - 5$
$f(-3) = -21 - 5$
$f(-3) = -26$
Ответ: -26

4) f(200)
Подставим $x = 200$ в формулу функции:
$f(200) = 7 \cdot 200 - 5$
$f(200) = 1400 - 5$
$f(200) = 1395$
Ответ: 1395

977. Функция задана формулой $f(x) = 2x^2 - 1$. Верно ли равенство:

1) $f(1) = 1$;

2) $f(4) = 15$;

3) $f(-2) = -9$;

4) $f(0) = 0$;

5) $f(-1) = 1$;

6) $f(-5) = 19$?

Чтобы проверить, верны ли равенства, необходимо для каждого из них подставить значение аргумента $x$ в формулу функции $f(x) = 2x^2 - 1$ и вычислить её значение. Затем нужно сравнить полученный результат с числом, указанным в правой части равенства.

1) $f(1) = 1;$
Подставим $x=1$ в формулу: $f(1) = 2 \cdot (1)^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.
Получили, что $f(1) = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.
Ответ: верно.

2) $f(4) = 15;$
Подставим $x=4$ в формулу: $f(4) = 2 \cdot (4)^2 - 1 = 2 \cdot 16 - 1 = 32 - 1 = 31$.
Получили, что $f(4) = 31$. Равенство $31 = 15$ является неверным.
Ответ: неверно.

3) $f(-2) = -9;$
Подставим $x=-2$ в формулу: $f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$.
Получили, что $f(-2) = 7$. Равенство $7 = -9$ является неверным.
Ответ: неверно.

4) $f(0) = 0;$
Подставим $x=0$ в формулу: $f(0) = 2 \cdot (0)^2 - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$.
Получили, что $f(0) = -1$. Равенство $-1 = 0$ является неверным.
Ответ: неверно.

5) $f(-1) = 1;$
Подставим $x=-1$ в формулу: $f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.
Получили, что $f(-1) = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.
Ответ: верно.

6) $f(-5) = 19?$
Подставим $x=-5$ в формулу: $f(-5) = 2 \cdot (-5)^2 - 1 = 2 \cdot 25 - 1 = 50 - 1 = 49$.
Получили, что $f(-5) = 49$. Равенство $49 = 19$ является неверным.
Ответ: неверно.

978. Функция задана формулой $y = x^2 - 3$. Найдите значение $y$, если:

1) $x = 5$;

2) $x = -4$;

3) $x = 0,1$;

4) $x = 0$.

Чтобы найти значение y для каждого случая, необходимо подставить данное значение x в формулу функции $y = x^2 - 3$ и выполнить вычисления.

1) Если x = 5, то:

$y = 5^2 - 3 = 25 - 3 = 22$

Ответ: 22

2) Если x = -4, то:

При возведении в квадрат отрицательного числа, результат будет положительным.

$y = (-4)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$

Ответ: 13

3) Если x = 0,1, то:

$y = (0,1)^2 - 3 = 0,01 - 3 = -2,99$

Ответ: -2,99

4) Если x = 0, то:

$y = 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3$

Ответ: -3

979. Функция задана формулой $f(x) = 3 + 4x$. Найдите значение $x$, при котором:

1) $f(x) = 19$;

2) $f(x) = -3$;

3) $f(x) = 0$;

4) $f(x) = 323$.

Для нахождения значения $x$ в каждом случае необходимо приравнять данное значение функции к ее формуле $f(x) = 3 + 4x$ и решить полученное уравнение.

1) $f(x) = 19$;
Составим и решим уравнение:
$3 + 4x = 19$
Перенесем слагаемое 3 в правую часть уравнения, изменив его знак:
$4x = 19 - 3$
$4x = 16$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Ответ: 4

2) $f(x) = -3$;
Составим и решим уравнение:
$3 + 4x = -3$
Перенесем слагаемое 3 в правую часть уравнения:
$4x = -3 - 3$
$4x = -6$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{-6}{4}$
$x = -1.5$
Ответ: -1.5

3) $f(x) = 0$;
Составим и решим уравнение:
$3 + 4x = 0$
Перенесем слагаемое 3 в правую часть уравнения:
$4x = -3$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{-3}{4}$
$x = -0.75$
Ответ: -0.75

4) $f(x) = 323$.
Составим и решим уравнение:
$3 + 4x = 323$
Перенесем слагаемое 3 в правую часть уравнения:
$4x = 323 - 3$
$4x = 320$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{320}{4}$
$x = 80$
Ответ: 80

980. Функция задана формулой $f(x) = -0,1x - 2$. Найдите значение $x$, при котором:

1) $f(x) = 1$;

2) $f(x) = -100$;

3) $f(x) = -43,6$.

Дана функция $f(x) = -0,1x - 2$. Чтобы найти значение $x$, при котором функция принимает заданное значение, необходимо подставить это значение вместо $f(x)$ в формулу и решить полученное уравнение.

1) f(x) = 1;

Подставим $f(x) = 1$ в уравнение функции и решим его относительно $x$:
$-0,1x - 2 = 1$
Перенесем свободный член ($-2$) в правую часть уравнения, изменив его знак:
$-0,1x = 1 + 2$
$-0,1x = 3$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-0,1$:
$x = \frac{3}{-0,1}$
$x = -30$
Ответ: -30

2) f(x) = -100;

Аналогично решим уравнение для $f(x) = -100$:
$-0,1x - 2 = -100$
Перенесем $-2$ в правую часть:
$-0,1x = -100 + 2$
$-0,1x = -98$
Разделим обе части на $-0,1$:
$x = \frac{-98}{-0,1}$
$x = 980$
Ответ: 980

3) f(x) = -43,6.

Теперь решим уравнение для $f(x) = -43,6$:
$-0,1x - 2 = -43,6$
Перенесем $-2$ в правую часть:
$-0,1x = -43,6 + 2$
$-0,1x = -41,6$
Разделим обе части на $-0,1$:
$x = \frac{-41,6}{-0,1}$
$x = 416$
Ответ: 416

981. Функция задана формулой $y = -\frac{1}{6}x + 2$. Найдите:

1) значения функции для значений аргумента, равных 12; 6; -6; 0; 1; 2; -4; -3;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 4; 3; 0; -1.

Функция задана формулой $y = -\frac{1}{6}x + 2$.

1) значения функции для значений аргумента, равных 12; 6; -6; 0; 1; 2; -4; -3;

Для нахождения значений функции $y$ необходимо подставить в исходную формулу соответствующие значения аргумента $x$.

Если $x = 12$, то $y = -\frac{1}{6} \cdot 12 + 2 = -2 + 2 = 0$.

Если $x = 6$, то $y = -\frac{1}{6} \cdot 6 + 2 = -1 + 2 = 1$.

Если $x = -6$, то $y = -\frac{1}{6} \cdot (-6) + 2 = 1 + 2 = 3$.

Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{6} \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2$.

Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{6} \cdot 1 + 2 = -\frac{1}{6} + \frac{12}{6} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$.

Если $x = 2$, то $y = -\frac{1}{6} \cdot 2 + 2 = -\frac{2}{6} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Если $x = -4$, то $y = -\frac{1}{6} \cdot (-4) + 2 = \frac{4}{6} + 2 = \frac{2}{3} + 2 = 2\frac{2}{3}$.

Если $x = -3$, то $y = -\frac{1}{6} \cdot (-3) + 2 = \frac{3}{6} + 2 = \frac{1}{2} + 2 = 2,5$.

Ответ: 0; 1; 3; 2; $1\frac{5}{6}$; $1\frac{2}{3}$; $2\frac{2}{3}$; 2,5.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 4; 3; 0; -1.

Для нахождения значений аргумента $x$ необходимо подставить в исходную формулу соответствующие значения функции $y$ и решить полученное уравнение.

Если $y = 4$, то:
$4 = -\frac{1}{6}x + 2$
$4 - 2 = -\frac{1}{6}x$
$2 = -\frac{1}{6}x$
$x = 2 \cdot (-6)$
$x = -12$.

Если $y = 3$, то:
$3 = -\frac{1}{6}x + 2$
$3 - 2 = -\frac{1}{6}x$
$1 = -\frac{1}{6}x$
$x = 1 \cdot (-6)$
$x = -6$.

Если $y = 0$, то:
$0 = -\frac{1}{6}x + 2$
$-2 = -\frac{1}{6}x$
$x = -2 \cdot (-6)$
$x = 12$.

Если $y = -1$, то:
$-1 = -\frac{1}{6}x + 2$
$-1 - 2 = -\frac{1}{6}x$
$-3 = -\frac{1}{6}x$
$x = -3 \cdot (-6)$
$x = 18$.

Ответ: -12; -6; 12; 18.