Страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

982. Функция задана формулой $f(x) = 2x - 1$.

1) Найдите: $f(3); f(-4); f(0); f(-0,5); f(3,2)$.

2) Найдите значение $x$, при котором: $f(x) = 7; f(x) = -9; f(x) = 0; f(x) = -2,4$.

3) Верно ли равенство: $f(5) = 9; f(0,3) = 0,4; f(-3) = -7$?

Дана функция, заданная формулой $f(x) = 2x - 1$.

1) Чтобы найти значения функции, нужно подставить соответствующие значения аргумента $x$ в формулу функции.

При $x = 3$:
$f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$.

При $x = -4$:
$f(-4) = 2 \cdot (-4) - 1 = -8 - 1 = -9$.

При $x = 0$:
$f(0) = 2 \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$.

При $x = -0,5$:
$f(-0,5) = 2 \cdot (-0,5) - 1 = -1 - 1 = -2$.

При $x = 3,2$:
$f(3,2) = 2 \cdot 3,2 - 1 = 6,4 - 1 = 5,4$.

Ответ: $f(3)=5$; $f(-4)=-9$; $f(0)=-1$; $f(-0,5)=-2$; $f(3,2)=5,4$.

2) Чтобы найти значение $x$, при котором функция принимает заданное значение, нужно приравнять формулу функции к этому значению и решить полученное уравнение.

Если $f(x) = 7$, то получаем уравнение:
$2x - 1 = 7$
$2x = 7 + 1$
$2x = 8$
$x = 8 / 2$
$x = 4$.

Если $f(x) = -9$, то:
$2x - 1 = -9$
$2x = -9 + 1$
$2x = -8$
$x = -8 / 2$
$x = -4$.

Если $f(x) = 0$, то:
$2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = 1 / 2$
$x = 0,5$.

Если $f(x) = -2,4$, то:
$2x - 1 = -2,4$
$2x = -2,4 + 1$
$2x = -1,4$
$x = -1,4 / 2$
$x = -0,7$.

Ответ: $f(x)=7$ при $x=4$; $f(x)=-9$ при $x=-4$; $f(x)=0$ при $x=0,5$; $f(x)=-2,4$ при $x=-0,7$.

3) Чтобы проверить, верны ли равенства, нужно вычислить значение функции в указанной точке и сравнить результат с данным в равенстве значением.

Проверим равенство $f(5) = 9$.
Вычисляем $f(5)$: $f(5) = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$.
Получили $9=9$. Следовательно, равенство верно.

Проверим равенство $f(0,3) = 0,4$.
Вычисляем $f(0,3)$: $f(0,3) = 2 \cdot 0,3 - 1 = 0,6 - 1 = -0,4$.
Получили $-0,4 \ne 0,4$. Следовательно, равенство неверно.

Проверим равенство $f(-3) = -7$.
Вычисляем $f(-3)$: $f(-3) = 2 \cdot (-3) - 1 = -6 - 1 = -7$.
Получили $-7=-7$. Следовательно, равенство верно.

Ответ: $f(5)=9$ — верно; $f(0,3)=0,4$ — неверно; $f(-3)=-7$ — верно.

983. Функция задана формулой $y = x(x + 8)$. Заполните таблицу.

x: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

y:

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения x из верхней строки вычислить соответствующее значение y, подставив значение x в формулу функции $y=x(x+8)$.

При x = -3

Подставим $x = -3$ в формулу функции:

$y = -3 \cdot (-3 + 8) = -3 \cdot 5 = -15$

Ответ: -15

При x = -2

Подставим $x = -2$ в формулу функции:

$y = -2 \cdot (-2 + 8) = -2 \cdot 6 = -12$

Ответ: -12

При x = -1

Подставим $x = -1$ в формулу функции:

$y = -1 \cdot (-1 + 8) = -1 \cdot 7 = -7$

Ответ: -7

При x = 0

Подставим $x = 0$ в формулу функции:

$y = 0 \cdot (0 + 8) = 0 \cdot 8 = 0$

Ответ: 0

При x = 1

Подставим $x = 1$ в формулу функции:

$y = 1 \cdot (1 + 8) = 1 \cdot 9 = 9$

Ответ: 9

При x = 2

Подставим $x = 2$ в формулу функции:

$y = 2 \cdot (2 + 8) = 2 \cdot 10 = 20$

Ответ: 20

При x = 3

Подставим $x = 3$ в формулу функции:

$y = 3 \cdot (3 + 8) = 3 \cdot 11 = 33$

Ответ: 33

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

984. Функция задана формулой $y = -\frac{2}{3}x$. Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения аргумента $x$ из верхней строки вычислить соответствующее значение функции $y$, подставив $x$ в заданную формулу $y = -\frac{2}{3}x$.

При x = -9

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot (-9) = \frac{2 \cdot 9}{3} = 2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

При x = -6

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot (-6) = \frac{2 \cdot 6}{3} = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4

При x = -3

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$

Ответ: 2

При x = -2

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot (-2) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

При x = -1

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot (-1) = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

При x = 0

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

При x = 1

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot 1 = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$

При x = 2

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot 2 = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

Ответ: $-1\frac{1}{3}$

При x = 3

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$

Ответ: -2

При x = 6

Вычисляем значение $y$:

$y = -\frac{2}{3} \cdot 6 = -\frac{12}{3} = -4$

Ответ: -4

Итоговая заполненная таблица:

985. Функция задана формулой $y = x^2 + x + 1$. Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо последовательно подставить каждое значение x из верхней строки в формулу функции $y = x^2 + x + 1$ и вычислить соответствующее значение y.

x = -3

Подставляем значение $x = -3$ в формулу функции:

$y = (-3)^2 + (-3) + 1 = 9 - 3 + 1 = 7$

Ответ: 7

x = -2

Подставляем значение $x = -2$ в формулу функции:

$y = (-2)^2 + (-2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$

Ответ: 3

x = -1

Подставляем значение $x = -1$ в формулу функции:

$y = (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$

Ответ: 1

x = 0

Подставляем значение $x = 0$ в формулу функции:

$y = 0^2 + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

Ответ: 1

x = 1

Подставляем значение $x = 1$ в формулу функции:

$y = 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

Ответ: 3

x = 2

Подставляем значение $x = 2$ в формулу функции:

$y = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$

Ответ: 7

x = 4

Подставляем значение $x = 4$ в формулу функции:

$y = 4^2 + 4 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21$

Ответ: 21

x = 7

Подставляем значение $x = 7$ в формулу функции:

$y = 7^2 + 7 + 1 = 49 + 7 + 1 = 57$

Ответ: 57

В результате получаем заполненную таблицу:

986. Каждому натуральному числу, которое больше, чем 10, но меньше, чем 20, поставили в соответствие остаток при делении этого числа на 6.

1) Каким способом задана эта функция?

2) Какова область значений этой функции?

3) Задайте эту функцию табличным способом.

1) Каким способом задана эта функция?

Функция определена с помощью текстового описания правила, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие значение функции. Этот способ задания функции называется словесным или описательным.

Ответ: словесным (описательным) способом.

2) Какова область значений этой функции?

Сначала определим область определения функции. Это множество натуральных чисел, которые больше 10, но меньше 20. Обозначим это множество как $D$.

$D = \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}$

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция. В данном случае это множество остатков от деления чисел из области определения на 6. Найдем эти остатки:

$11 \div 6$ дает остаток 5
$12 \div 6$ дает остаток 0
$13 \div 6$ дает остаток 1
$14 \div 6$ дает остаток 2
$15 \div 6$ дает остаток 3
$16 \div 6$ дает остаток 4
$17 \div 6$ дает остаток 5
$18 \div 6$ дает остаток 0
$19 \div 6$ дает остаток 1

Множество всех уникальных остатков образует область значений функции, обозначим ее $E$.

$E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$

Ответ: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

3) Задайте эту функцию табличным способом.

Чтобы задать функцию табличным способом, нужно составить таблицу, в которой для каждого значения аргумента ($x$) будет указано соответствующее значение функции ($f(x)$).

Ответ: функция задана в таблице выше.

987. Область определения некоторой функции — множество однозначных натуральных чисел, а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента.

1) Каким способом задана эта функция?

2) Задайте эту функцию формулой и табличным способом.

1) Каким способом задана эта функция?

Данная функция задана словесным способом. Этот способ заключается в том, что правило зависимости между переменными описывается словами, а не формулой, графиком или таблицей. В условии задачи словесно описаны как область определения функции (множество однозначных натуральных чисел), так и правило для нахождения её значений (значение функции в 2 раза больше значения аргумента).

Ответ: словесным способом.

2) Задайте эту функцию формулой и табличным способом.

Для того чтобы задать функцию другими способами, воспользуемся её словесным описанием.

Задание функции с помощью формулы

Пусть $x$ — аргумент функции, а $y$ — её значение. Согласно условию, "значения функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента". Математически это выражается следующей формулой:

$y = 2x$

Область определения функции — это "множество однозначных натуральных чисел". Это значит, что аргумент $x$ может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Задание функции с помощью таблицы

Табличный способ заключается в представлении пар соответствующих значений аргумента и функции. Для этого вычислим значения $y$ для каждого допустимого значения $x$ с помощью полученной формулы $y = 2x$.

Ответ: формула: $y = 2x$, где $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$; табличный способ представлен в виде таблицы выше.

988. Задайте формулой функцию, если значения функции:

1) противоположны соответствующим значениям аргумента: $y = -x$

2) равны утроенным соответствующим значениям аргумента: $y = 3x$

3) на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента: $y = x^2 + 4$

Для решения задачи обозначим независимую переменную (аргумент) как $x$, а зависимую переменную (значение функции) как $y$. Нам нужно выразить $y$ через $x$ в соответствии с условиями для каждого пункта.

1) значения функции противоположны соответствующим значениям аргумента;
Противоположное число для $x$ — это $-x$. Следовательно, значение функции $y$ должно быть равно $-x$.
Формула функции: $y = -x$.
Ответ: $y = -x$

2) значения функции равны утроенным соответствующим значениям аргумента;
Утроенное значение аргумента $x$ — это $3 \cdot x$ или $3x$. По условию, значение функции $y$ равно этому выражению.
Формула функции: $y = 3x$.
Ответ: $y = 3x$

3) значения функции на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента.
Квадрат значения аргумента $x$ — это $x^2$. Значение, которое на 4 больше квадрата аргумента, записывается как $x^2 + 4$. Таким образом, значение функции $y$ равно $x^2 + 4$.
Формула функции: $y = x^2 + 4$.
Ответ: $y = x^2 + 4$

989. Задайте формулой функцию, если значения функции:

1) на 3 меньше соответствующих значений аргумента;

2) на 5 больше удвоенных соответствующих значений аргумента.

1) Обозначим значение аргумента (независимую переменную) через $x$, а значение функции (зависимую переменную) — через $y$. По условию задачи, значение функции на 3 меньше соответствующего значения аргумента. Это означает, что для получения значения функции $y$ необходимо из значения аргумента $x$ вычесть 3. Запишем это в виде математической формулы:
$y = x - 3$
Ответ: $y = x - 3$

2) Аналогично первому пункту, пусть $x$ — это значение аргумента, а $y$ — значение функции. Согласно условию, значение функции на 5 больше удвоенных соответствующих значений аргумента. Сначала найдем "удвоенное значение аргумента" — это $2 \cdot x$, или просто $2x$. Затем, выражение "на 5 больше" означает, что к удвоенному значению аргумента нужно прибавить 5. Таким образом, формула, задающая функцию, имеет вид:
$y = 2x + 5$
Ответ: $y = 2x + 5$

990. Составьте с шагом 0,5 таблицу значений функции, заданной формулой $y = x^2 + 2x$, определённой на промежутке $[-1; 3]$.

Для того чтобы составить таблицу значений для функции $y = x^2 + 2x$ на промежутке $[-1; 3]$ с шагом 0,5, необходимо вычислить значения функции $y$ для каждого значения аргумента $x$ из этого промежутка. Значения $x$, для которых мы будем проводить вычисления: -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3.

Выполним вычисления для каждой точки:

• При $x = -1$: $y = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$
• При $x = -0,5$: $y = (-0,5)^2 + 2(-0,5) = 0,25 - 1 = -0,75$
• При $x = 0$: $y = 0^2 + 2(0) = 0 + 0 = 0$
• При $x = 0,5$: $y = (0,5)^2 + 2(0,5) = 0,25 + 1 = 1,25$
• При $x = 1$: $y = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$
• При $x = 1,5$: $y = (1,5)^2 + 2(1,5) = 2,25 + 3 = 5,25$
• При $x = 2$: $y = 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8$
• При $x = 2,5$: $y = (2,5)^2 + 2(2,5) = 6,25 + 5 = 11,25$
• При $x = 3$: $y = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15$

Ответ: