Номер 1015, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. График функции. Глава 2. Функции - номер 1015, страница 187.

Условие.

1015. Пользуясь графиком функции $y = f(x)$, изображённым на рисунке 42, найдите:

1) значения аргумента, при которых $y = 3$;

2) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

3) область определения функции;

4) область значений функции;

5) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

6) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Рис. 42

Решение 1.

Решение 5.

1) значения аргумента, при которых $y = 3$;

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно 3, необходимо найти абсциссы точек пересечения графика функции с горизонтальной прямой $y = 3$. Проведя на графике прямую $y = 3$, мы видим, что она пересекает график функции в двух точках. Спроецировав эти точки на ось абсцисс, мы находим соответствующие значения аргумента.

Первая точка пересечения имеет абсциссу $x = -3$.

Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x = 2$.

Ответ: $x = -3$; $x = 2$.

2) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

Значение функции равно нулю в тех точках, где её график пересекает ось абсцисс (ось $Ox$). Такие значения аргумента называются нулями функции. Из графика видно, что функция пересекает ось $Ox$ в трёх точках.

Абсциссы этих точек: $x = -5$, $x = 3$ и $x = 7$.

Ответ: $x = -5$; $x = 3$; $x = 7$.

3) область определения функции;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. На графике это соответствует проекции всего графика на ось абсцисс. График начинается в точке с абсциссой $x = -5$ и заканчивается в точке с абсциссой $x = 7$. Таким образом, функция определена для всех $x$ на отрезке от -5 до 7 включительно.

Ответ: $D(f) = [-5; 7]$.

4) область значений функции;

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике это соответствует проекции всего графика на ось ординат (ось $Oy$). Чтобы найти эту область, нужно определить минимальное и максимальное значение функции.

Минимальное значение (самая низкая точка графика) равно $y = -2$.

Максимальное значение (самая высокая точка графика) равно $y = 5$.

Функция принимает все значения между -2 и 5 включительно.

Ответ: $E(f) = [-2; 5]$.

5) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) на тех интервалах, где её график расположен ниже оси абсцисс. Из графика видно, что это происходит на интервале между $x = 3$ и $x = 7$. В точках $x = 3$ и $x = 7$ значение функции равно нулю, поэтому они не включаются в интервал.

Ответ: $x \in (3; 7)$.

6) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на тех интервалах, где её график расположен выше оси абсцисс. Из графика видно, что это происходит на интервале между $x = -5$ и $x = 3$. В точках $x = -5$ и $x = 3$ значение функции равно нулю, поэтому они не включаются в интервал.

Ответ: $x \in (-5; 3)$.