Страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1044. В таблице приведены соответствующие значения величин $x$ и $y$. Установите, являются ли эти величины прямо пропорциональными.

1) $x$: 2, 5, 7, 9

$y$: 6, 15, 21, 27

2) $x$: 0,4, 1,8, 2,3, 3,1

$y$: 0,8, 3,8, 4,6, 6,2

1) Чтобы определить, являются ли величины $x$ и $y$ прямо пропорциональными, необходимо проверить, является ли их отношение постоянным для всех представленных пар значений. Две величины называются прямо пропорциональными, если их отношение $\frac{y}{x}$ постоянно. Это постоянное значение называется коэффициентом пропорциональности $k$. Зависимость можно выразить формулой $y=kx$.

Вычислим отношение $\frac{y}{x}$ для каждой пары значений из первой таблицы:
Для $x=2$ и $y=6$: $\frac{y}{x} = \frac{6}{2} = 3$.
Для $x=5$ и $y=15$: $\frac{y}{x} = \frac{15}{5} = 3$.
Для $x=7$ и $y=21$: $\frac{y}{x} = \frac{21}{7} = 3$.
Для $x=9$ и $y=27$: $\frac{y}{x} = \frac{27}{9} = 3$.

Поскольку отношение $\frac{y}{x}$ для всех пар значений одинаково и равно 3, данные величины являются прямо пропорциональными. Коэффициент пропорциональности $k=3$.

Ответ: да, величины прямо пропорциональны.

2) Проведем аналогичную проверку для второй таблицы. Вычислим отношение $\frac{y}{x}$ для каждой пары значений.

Вычисления для второй таблицы:
Для $x=0,4$ и $y=0,8$: $\frac{y}{x} = \frac{0,8}{0,4} = 2$.
Для $x=1,8$ и $y=3,8$: $\frac{y}{x} = \frac{3,8}{1,8} = \frac{38}{18} = \frac{19}{9} \approx 2,11$.
Для $x=2,3$ и $y=4,6$: $\frac{y}{x} = \frac{4,6}{2,3} = 2$.
Для $x=3,1$ и $y=6,2$: $\frac{y}{x} = \frac{6,2}{3,1} = 2$.

Так как отношения не для всех пар равны (например, $2 \neq \frac{19}{9}$), то постоянного коэффициента пропорциональности не существует. Следовательно, данные величины не являются прямо пропорциональными.

Ответ: нет, величины не являются прямо пропорциональными.

1045.Заполните таблицу, если величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$.

По условию задачи, величина y прямо пропорциональна величине x. Это означает, что их связь описывается формулой $y = kx$, где k — постоянный коэффициент пропорциональности. Это также значит, что отношение $\frac{y}{x}$ постоянно для всех пар значений.

Чтобы найти коэффициент пропорциональности k, воспользуемся данными из третьего столбца таблицы, где известны и x, и y:

$x = 3,2$, $y = 9,6$

$k = \frac{y}{x} = \frac{9,6}{3,2} = 3$

Итак, коэффициент пропорциональности равен 3, а формула зависимости: $y = 3x$. Теперь мы можем найти все недостающие значения в таблице.

Расчет для первого столбца (где x = 0,3)

Подставляем значение x в формулу $y = 3x$:

$y = 3 \cdot 0,3 = 0,9$

Ответ: $0,9$

Расчет для второго столбца (где x = 8)

Подставляем значение x в формулу $y = 3x$:

$y = 3 \cdot 8 = 24$

Ответ: $24$

Расчет для четвертого столбца (где y = 2,7)

Для нахождения x, выразим его из формулы: $x = \frac{y}{k}$.

$x = \frac{2,7}{3} = 0,9$

Ответ: $0,9$

Расчет для пятого столбца (где y = 42)

Используем ту же формулу $x = \frac{y}{k}$:

$x = \frac{42}{3} = 14$

Ответ: $14$

В результате получаем полностью заполненную таблицу:

1046. Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое количество клеток, вырезали по линиям квадрат, содержащий целое количество клеток, так, что осталась 71 клетка. Сколько клеток содержал исходный лист бумаги?

Пусть сторона исходного квадратного листа бумаги равна N клеток, а сторона вырезанного квадрата — M клеток. Поскольку и лист, и вырезанный квадрат содержат целое количество клеток, то N и M являются натуральными числами.

Количество клеток в исходном листе (его площадь) составляет $N^2$. Количество клеток в вырезанном квадрате (его площадь) составляет $M^2$. По условию, из большего квадрата вырезают меньший, значит $N > M$.

После вырезания квадрата осталась 71 клетка. Это означает, что разность между количеством клеток исходного листа и количеством клеток вырезанного квадрата равна 71. Мы можем составить следующее уравнение:

$N^2 - M^2 = 71$

Левую часть этого уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применив ее, получаем:

$(N - M)(N + M) = 71$

Так как N и M — натуральные числа, то выражения $(N - M)$ и $(N + M)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 71, следовательно, они являются делителями числа 71.

Число 71 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Значит, его натуральными делителями являются только числа 1 и 71.

Поскольку N и M — натуральные числа и $N > M$, то множитель $(N - M)$ является положительным целым числом. Множитель $(N + M)$ также является положительным целым числом. Кроме того, очевидно, что $(N + M) > (N - M)$. Исходя из этого, существует только одна возможная комбинация множителей:

$N - M = 1$
$N + M = 71$

Мы получили систему из двух линейных уравнений. Для ее решения сложим оба уравнения:

$(N - M) + (N + M) = 1 + 71$

$2N = 72$

$N = \frac{72}{2} = 36$

Теперь подставим найденное значение N в любое из уравнений, например, во второе:

$36 + M = 71$

$M = 71 - 36$

$M = 35$

Таким образом, сторона исходного листа бумаги была равна 36 клеткам, а сторона вырезанного квадрата — 35 клеткам.

В задаче спрашивается, сколько клеток содержал исходный лист бумаги. Для этого нужно найти площадь исходного квадрата, то есть возвести в квадрат длину его стороны N:

Количество клеток = $N^2 = 36^2 = 1296$.

Ответ: 1296.