Страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1061. Функциональная зависимость переменной $y$ от переменной $x$ является прямой пропорциональностью.

1) Заполните таблицу.

2) Задайте данную функцию формулой.

3) Постройте график этой функции.

1) Заполните таблицу.

По условию, функциональная зависимость переменной $y$ от переменной $x$ является прямой пропорциональностью. Это означает, что она описывается формулой вида $y=kx$, где $k$ — это постоянный коэффициент пропорциональности.

Для того чтобы найти этот коэффициент, воспользуемся данными из таблицы: при $x=8$, $y=4$. Подставим эти значения в нашу формулу:

$4 = k \cdot 8$

Отсюда находим $k$:

$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Итак, формула нашей функции: $y = \frac{1}{2}x$. Теперь мы можем использовать эту формулу, чтобы найти остальные значения $y$ и заполнить таблицу.

Выполним вычисления: при $x=6$, $y = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$; при $x=2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$; при $x=1$, $y = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$; при $x=\frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$; при $x=0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$; при $x=-1$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -0.5$; при $x=-2$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$; при $x=-3$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-3) = -1.5$; при $x=-4$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-4) = -2$.

Ответ:

2) Задайте данную функцию формулой.

Как было определено при решении первого пункта, зависимость является прямой пропорциональностью $y=kx$. Коэффициент пропорциональности $k$ был вычислен на основе известной пары значений $(x=8, y=4)$ и равен $\frac{1}{2}$.

Таким образом, функция задается формулой $y = \frac{1}{2}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x$

3) Постройте график этой функции.

Графиком функции $y = \frac{1}{2}x$ является прямая линия. Поскольку это прямая пропорциональность, ее график обязательно проходит через начало координат — точку с координатами $(0, 0)$. Для построения прямой достаточно найти еще одну любую точку, принадлежащую графику. Возьмем, к примеру, точку из таблицы: при $x=2$, $y=1$. Таким образом, у нас есть две точки: $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

Чтобы построить график, нужно начертить систему координат $Oxy$, отметить на ней точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$ и соединить их прямой линией, продолжив ее в обе стороны. Эта прямая и есть график функции. Так как коэффициент $k=\frac{1}{2}$ положителен, график расположен в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через начало координат (точку $(0,0)$) и, например, точку $(2,1)$.

1062.Постройте в одной системе координат графики линейных функций:

$y = 3; y = -5; y = 0.$

Для построения графиков данных линейных функций в одной системе координат, необходимо проанализировать каждую функцию. Все они являются частными случаями линейной функции $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=0$. Общий вид таких функций — $y = b$. Графиком функции $y = b$ является прямая линия, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку $(0, b)$ на оси ординат ($Oy$).

y = 3

Для этой функции значение $y$ всегда равно 3, независимо от значения $x$. Это означает, что график функции — это горизонтальная прямая, проходящая через все точки с ординатой 3. Чтобы построить прямую, достаточно двух точек. Возьмем, например, точки с абсциссами $x=0$ и $x=2$. Для обеих точек ордината будет равна 3. Получаем точки $(0, 3)$ и $(2, 3)$. Соединив их, получим прямую, параллельную оси $Ox$ и пересекающую ось $Oy$ в точке $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y = 3$ — это прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку $(0, 3)$.

y = -5

Для этой функции значение $y$ всегда равно -5, независимо от значения $x$. Графиком является горизонтальная прямая, проходящая через все точки с ординатой -5. Возьмем для построения две точки, например, $(0, -5)$ и $(1, -5)$. Прямая, проведенная через эти точки, будет параллельна оси $Ox$ и будет пересекать ось $Oy$ в точке $(0, -5)$.

Ответ: График функции $y = -5$ — это прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку $(0, -5)$.

y = 0

Для этой функции значение $y$ всегда равно 0, независимо от значения $x$. Графиком является горизонтальная прямая, проходящая через все точки с ординатой 0. Например, через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Эта прямая полностью совпадает с осью абсцисс ($Ox$).

Ответ: График функции $y = 0$ — это прямая, совпадающая с осью абсцисс ($Ox$).

При построении в одной системе координат мы получим три горизонтальные прямые, параллельные друг другу. Прямая $y=3$ будет расположена на 3 единичных отрезка выше оси $Ox$. Прямая $y=-5$ будет расположена на 5 единичных отрезков ниже оси $Ox$. Прямая $y=0$ совпадет с самой осью $Ox$.

1063.Постройте график функции $y = 2x - 3$. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; -1; 0,5;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 1; -1; 0;

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Для построения графика функции $y = 2x - 3$ найдем координаты двух точек. Так как функция линейная, её график — прямая линия.

1. Выберем произвольное значение аргумента, например, $x = 0$. Подставим его в уравнение функции: $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получили точку с координатами $(0; -3)$.

2. Выберем другое значение аргумента, например, $x = 2$. Подставим его в уравнение: $y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Получили точку с координатами $(2; 1)$.

Отметим точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая является графиком функции $y = 2x - 3$.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; -1; 0,5

Чтобы найти значение функции (y) для заданного значения аргумента (x), находим на оси абсцисс (Ox) нужное значение, проводим от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — горизонтальную линию до оси ординат (Oy). Полученное значение на оси Oy и есть искомое значение функции.

- Если $x = 4$, находим на графике соответствующую точку. Её ордината равна $5$. Значит, $y = 5$.

- Если $x = -1$, находим на графике соответствующую точку. Её ордината равна $-5$. Значит, $y = -5$.

- Если $x = 0,5$, находим на графике соответствующую точку. Её ордината равна $-2$. Значит, $y = -2$.

Ответ: если $x=4$, то $y=5$; если $x=-1$, то $y=-5$; если $x=0,5$, то $y=-2$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 1; -1; 0

Чтобы найти значение аргумента (x) для заданного значения функции (y), находим на оси ординат (Oy) нужное значение, проводим от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — вертикальную линию до оси абсцисс (Ox). Полученное значение на оси Ox и есть искомое значение аргумента.

- Если $y = 1$, находим на графике соответствующую точку. Её абсцисса равна $2$. Значит, $x = 2$.

- Если $y = -1$, находим на графике соответствующую точку. Её абсцисса равна $1$. Значит, $x = 1$.

- Если $y = 0$, находим точку пересечения графика с осью абсцисс. Её абсцисса равна $1,5$. Значит, $x = 1,5$.

Ответ: $y=1$ при $x=2$; $y=-1$ при $x=1$; $y=0$ при $x=1,5$.

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда её график расположен выше оси абсцисс (Ox). Из графика видно, что это происходит для всех точек, которые находятся правее точки пересечения графика с осью Ox.

Как мы определили в предыдущем пункте, график пересекает ось Ox в точке, где $x = 1,5$. Следовательно, при всех значениях $x$, больших чем $1,5$, значения функции будут положительными.

Ответ: $x > 1,5$.

1064.Постройте график функции $y = 2 - 4x$. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: 1; 0; -2;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: -4; -2; 2;

3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

Для построения графика функции $y = 2 - 4x$ определим тип функции и найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику.Данная функция является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.Составим таблицу значений:

1. Если $x = 0$, то $y = 2 - 4 \cdot 0 = 2$. Получили точку $(0; 2)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью ординат ($Oy$).

2. Если $x = 1$, то $y = 2 - 4 \cdot 1 = 2 - 4 = -2$. Получили точку $(1; -2)$.

Для дополнительной проверки найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$), где $y = 0$:
$0 = 2 - 4x$
$4x = 2$
$x = 0.5$
Получили точку $(0.5; 0)$.

Отметим точки $(0; 2)$ и $(1; -2)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую. Это и будет график функции $y = 2 - 4x$.

1) значение функции, если значение аргумента равно: 1; 0; -2;
Чтобы найти значение функции ($y$) по графику при заданном значении аргумента ($x$), нужно найти на оси $Ox$ заданное значение, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси $Oy$.

• При $x = 1$, опускаем перпендикуляр от этой точки на оси $Ox$ до графика и видим, что он пересекается в точке $(1; -2)$. Значит, значение функции равно -2.
• При $x = 0$, точка на графике находится на оси $Oy$, ее ордината равна 2.
• При $x = -2$, находим эту точку на оси $Ox$, проводим вертикальную линию вверх до пересечения с графиком, а затем горизонтальную линию до оси $Oy$. Чтобы найти точное значение, подставим $x=-2$ в уравнение: $y = 2 - 4(-2) = 2 + 8 = 10$.

Ответ: если $x=1$, то $y=-2$; если $x=0$, то $y=2$; если $x=-2$, то $y=10$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: -4; -2; 2;
Чтобы найти значение аргумента ($x$) по графику при заданном значении функции ($y$), нужно найти на оси $Oy$ заданное значение, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения провести вертикальную линию до оси $Ox$.

• При $y = -4$, проводим горизонтальную линию от этой точки на оси $Oy$ до пересечения с графиком, а затем опускаем перпендикуляр на ось $Ox$. Для точности решим уравнение: $-4 = 2 - 4x \Rightarrow 4x = 2 - (-4) \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = 1.5$.
• При $y = -2$, из графика (и из пункта 1) видно, что соответствующее значение аргумента $x=1$.
• При $y = 2$, из графика (и из построения) видно, что соответствующее значение аргумента $x=0$.

Ответ: $y=-4$ при $x=1.5$; $y=-2$ при $x=1$; $y=2$ при $x=0$.

3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.
Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) на тех участках, где ее график расположен ниже оси абсцисс ($Ox$).Сначала найдем точку, в которой график пересекает ось $Ox$. В этой точке $y=0$. Мы уже находили ее при построении:$2 - 4x = 0 \Rightarrow x = 0.5$.График функции $y = 2 - 4x$ — убывающая прямая, так как угловой коэффициент $k = -4$ отрицателен. Это означает, что при значениях аргумента, больших абсциссы точки пересечения, значения функции будут меньше нуля.Таким образом, график находится ниже оси $Ox$ при $x > 0.5$.

Ответ: $y < 0$ при $x \in (0.5; +\infty)$.

1065.Постройте график функции $y = 0,5x$. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; -6; 3;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 2,5; -2; 1;

3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

Сначала построим график функции $y = 0,5x$.

Данная функция является линейной функцией вида $y=kx$, где коэффициент $k=0,5$. Её график — это прямая, которая проходит через начало координат.

Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты:

1. Если аргумент $x = 0$, то значение функции $y = 0,5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку с координатами $(0; 0)$.

2. Если аргумент $x = 4$, то значение функции $y = 0,5 \cdot 4 = 2$. Получаем точку с координатами $(4; 2)$.

Отметим точки $(0; 0)$ и $(4; 2)$ на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Теперь, пользуясь графиком, ответим на вопросы.

1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; -6; 3;

Чтобы найти значение функции по графику, нужно найти заданное значение аргумента ($x$) на оси абсцисс, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат. Координата этой точки на оси $Oy$ и будет искомым значением функции.

- Если $x = 4$, то, найдя на оси $Ox$ точку 4, поднимаемся по перпендикуляру до графика, а затем движемся горизонтально к оси $Oy$. Получаем $y = 2$.
- Если $x = -6$, то, найдя на оси $Ox$ точку -6, опускаемся по перпендикуляру до графика, а затем движемся горизонтально к оси $Oy$. Получаем $y = -3$.
- Если $x = 3$, то, найдя на оси $Ox$ точку 3, поднимаемся по перпендикуляру до графика, а затем движемся горизонтально к оси $Oy$. Получаем $y = 1,5$.

Ответ: если $x=4$, то $y=2$; если $x=-6$, то $y=-3$; если $x=3$, то $y=1,5$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 2,5; -2; 1;

Чтобы найти значение аргумента по графику, нужно найти заданное значение функции ($y$) на оси ординат, провести перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс. Координата этой точки на оси $Ox$ и будет искомым значением аргумента.

- Если $y = 2,5$, то, найдя на оси $Oy$ точку 2,5, движемся горизонтально до графика, а затем опускаемся к оси $Ox$. Получаем $x = 5$.
- Если $y = -2$, то, найдя на оси $Oy$ точку -2, движемся горизонтально до графика, а затем поднимаемся к оси $Ox$. Получаем $x = -4$.
- Если $y = 1$, то, найдя на оси $Oy$ точку 1, движемся горизонтально до графика, а затем опускаемся к оси $Ox$. Получаем $x = 2$.

Ответ: если $y=2,5$, то $x=5$; если $y=-2$, то $x=-4$; если $y=1$, то $x=2$.

3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) там, где её график расположен ниже оси абсцисс ($Ox$).

Из графика видно, что прямая $y=0,5x$ лежит ниже оси $Ox$ в третьей координатной четверти. Это соответствует всем отрицательным значениям аргумента $x$.

Для проверки решим неравенство:$0,5x < 0$Разделим обе части на 0,5 (положительное число), знак неравенства при этом не изменится:$x < 0$

Ответ: $x < 0$.

1066.Постройте график функции $y = -4x$. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: 2; -1; 0,5;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: -4; 2;

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Сначала построим график функции $y = -4x$.

Это линейная функция вида $y=kx$, ее график — прямая, проходящая через начало координат. Для построения прямой найдем координаты двух точек.

• Если $x=0$, то $y = -4 \cdot 0 = 0$. Первая точка — O(0; 0).
• Если $x=1$, то $y = -4 \cdot 1 = -4$. Вторая точка — A(1; -4).

Соединим эти две точки прямой линией. Ниже представлен график функции.

Теперь, пользуясь графиком, ответим на вопросы.

1) значение функции, если значение аргумента равно: 2; -1; 0,5

Чтобы найти значение функции по значению аргумента, нужно найти на оси абсцисс (x) заданное значение, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (y). Полученное значение на оси y и будет значением функции.

• Если $x=2$, опускаем перпендикуляр от точки $x=2$ на оси абсцисс до графика. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат и попадаем в точку $y=-8$.
• Если $x=-1$, поднимаем перпендикуляр от точки $x=-1$ до графика и от точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат. Получаем $y=4$.
• Если $x=0,5$, опускаем перпендикуляр от точки $x=0,5$ до графика и от точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат. Получаем $y=-2$.

Ответ: при $x=2$, $y=-8$; при $x=-1$, $y=4$; при $x=0,5$, $y=-2$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: -4; 2

Чтобы найти значение аргумента по значению функции, нужно выполнить обратную операцию: найти на оси ординат (y) заданное значение, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести вертикальную линию до оси абсцисс (x).

• Если $y=-4$, находим эту точку на оси ординат. Движемся от нее до графика, а затем опускаемся на ось абсцисс. Получаем $x=1$.
• Если $y=2$, находим эту точку на оси ординат. Движемся от нее до графика, а затем опускаемся на ось абсцисс. Получаем $x=-0,5$.

Ответ: $y=-4$ при $x=1$; $y=2$ при $x=-0,5$.

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс (оси x).Из графика видно, что ветвь прямой, расположенная во второй координатной четверти, находится выше оси x. Это происходит при отрицательных значениях аргумента.

Для проверки решим неравенство:

$y > 0$

$-4x > 0$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Ответ: $x < 0$.

1067. Не выполняя построения графика функции $y = 1,8x - 3$, определите, через какие из данных точек проходит этот график: A (-2; -6,6); B (1; 1,2); C (0; -3); D (5; 7).

Для того чтобы определить, проходит ли график функции через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Уравнение функции: $y = 1,8x - 3$.

A

Проверим точку $A(-2; -6,6)$. Подставим ее координаты $x = -2$ и $y = -6,6$ в уравнение функции:

$-6,6 = 1,8 \cdot (-2) - 3$

$-6,6 = -3,6 - 3$

$-6,6 = -6,6$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку A.

Ответ: проходит.

B

Проверим точку $B(1; 1,2)$. Подставим ее координаты $x = 1$ и $y = 1,2$ в уравнение функции:

$1,2 = 1,8 \cdot 1 - 3$

$1,2 = 1,8 - 3$

$1,2 = -1,2$

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку B.

Ответ: не проходит.

C

Проверим точку $C(0; -3)$. Подставим ее координаты $x = 0$ и $y = -3$ в уравнение функции:

$-3 = 1,8 \cdot 0 - 3$

$-3 = 0 - 3$

$-3 = -3$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку C.

Ответ: проходит.

D

Проверим точку $D(5; 7)$. Подставим ее координаты $x = 5$ и $y = 7$ в уравнение функции:

$7 = 1,8 \cdot 5 - 3$

$7 = 9 - 3$

$7 = 6$

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку D.

Ответ: не проходит.

1068. Не выполняя построения, определите, принадлежит ли графику

функции $y = 8x - 14$ точка:

1) A $(-1; -6)$;

2) B $(2; 2)$.

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты (x и y) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

Дана функция $y = 8x - 14$.

1) A (–1; –6);

Подставим координаты точки A в уравнение функции. Здесь $x = -1$, а $y = -6$.
$-6 = 8 \cdot (-1) - 14$
$-6 = -8 - 14$
$-6 = -22$
Полученное равенство является неверным, следовательно, точка A не принадлежит графику функции $y = 8x - 14$.

Ответ: не принадлежит.

2) B (2; 2).

Подставим координаты точки B в уравнение функции. Здесь $x = 2$, а $y = 2$.
$2 = 8 \cdot 2 - 14$
$2 = 16 - 14$
$2 = 2$
Полученное равенство является верным, следовательно, точка B принадлежит графику функции $y = 8x - 14$.

Ответ: принадлежит.