Страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1111. Есть два печатных автомата. Первый по карточке с числами (a; b; c) выдаёт карточку с числами $\left(\frac{a+b}{2}; \frac{b+c}{2}; \frac{a+c}{2}\right)$, а второй по карточке с числами (a; b; c) – карточку с числами (2a – b; 2b – c; 2c – a). Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (2,8; –1,7; 16) получить карточку (1,73; 2; 0,4)?

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяются числа на карточке после применения каждого из автоматов. Мы попытаемся найти свойство (инвариант), которое сохраняется при обеих операциях. Если у начальной и конечной карточек это свойство будет разным, то переход от одной к другой невозможен.

Пусть на карточке находятся числа $(a; b; c)$. Рассмотрим сумму этих чисел: $S = a + b + c$.

Проверим, как меняется эта сумма после применения каждого автомата.

Операция первого автомата

Первый автомат преобразует карточку $(a; b; c)$ в карточку $\left(\frac{a+b}{2}; \frac{b+c}{2}; \frac{a+c}{2}\right)$. Найдем сумму новых чисел:

$S_1 = \frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} + \frac{a+c}{2} = \frac{a+b+b+c+a+c}{2} = \frac{2a+2b+2c}{2} = a+b+c$

Сумма чисел на карточке не изменилась, то есть $S_1 = S$.

Операция второго автомата

Второй автомат преобразует карточку $(a; b; c)$ в карточку $(2a-b; 2b-c; 2c-a)$. Найдем сумму новых чисел:

$S_2 = (2a-b) + (2b-c) + (2c-a) = 2a-b+2b-c+2c-a = (2a-a) + (2b-b) + (2c-c) = a+b+c$

Сумма чисел на карточке также не изменилась, то есть $S_2 = S$.

Таким образом, сумма трёх чисел на карточке является инвариантом: она не меняется после применения любого из двух автоматов. Это означает, что любая карточка, полученная из исходной, должна иметь ту же сумму чисел, что и исходная.

Теперь вычислим сумму чисел для начальной и конечной карточек.

Сумма чисел на начальной карточке $(2,8; -1,7; 16)$:

$S_{начальная} = 2,8 + (-1,7) + 16 = 1,1 + 16 = 17,1$

Сумма чисел на конечной карточке $(1,73; 2; 0,4)$:

$S_{конечная} = 1,73 + 2 + 0,4 = 4,13$

Сравнивая эти две суммы, мы видим, что $17,1 \neq 4,13$.

Поскольку сумма чисел на начальной карточке не равна сумме чисел на конечной карточке, а обе операции сохраняют эту сумму, то получить из карточки $(2,8; -1,7; 16)$ карточку $(1,73; 2; 0,4)$ с помощью данных автоматов невозможно.

Ответ: нет, невозможно.