Страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. В какой точке график функции $y=x-2$ пересекает ось ординат?

А) А (0; -2)

Б) В (0; 2)

В) С (2; 0)

Г) D (-2; 0)

Чтобы найти точку, в которой график функции пересекает ось ординат (ось $y$), необходимо найти значение функции при $x=0$. Это следует из того, что у любой точки, расположенной на оси ординат, координата $x$ (абсцисса) равна нулю.

Задана функция: $y = x - 2$.

Подставим значение $x = 0$ в уравнение функции, чтобы найти соответствующую координату $y$ (ординату):

$y = 0 - 2$

$y = -2$

Таким образом, график функции пересекает ось ординат в точке с координатами $(0; -2)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: А) (0; -2)

9. Определите абсциссу точки пересечения графиков функций $y=8-4x$ и $y=x+14$.

Для того чтобы определить абсциссу (координату $x$) точки пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять выражения для $y$, так как в точке пересечения координаты у обоих графиков совпадают.

Нам даны две функции: $y = 8 - 4x$ и $y = x + 14$.

Приравниваем правые части этих уравнений:
$8 - 4x = x + 14$

Теперь необходимо решить полученное линейное уравнение. Для этого сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесем $x$ из правой части в левую, а 8 из левой в правую, меняя их знаки на противоположные:
$-4x - x = 14 - 8$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$-5x = 6$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -5:
$x = \frac{6}{-5}$
$x = -1,2$

Таким образом, абсцисса точки пересечения графиков функций равна -1,2. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) -1,2

10. На каком из рисунков изображён график функции $y = 0,2x$ (рис. 65)?

Рис. 65

A

B

Б

Г

Данная функция $y = 0,2x$ является прямой пропорциональностью, что является частным случаем линейной функции вида $y = kx + b$.

В нашем случае угловой коэффициент $k = 0,2$, а свободный член $b = 0$.

Проанализируем, как должен выглядеть график, исходя из этих коэффициентов.
1. Поскольку коэффициент $b = 0$, график функции должен проходить через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$.
2. Поскольку угловой коэффициент $k = 0,2 > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что её график должен быть направлен вверх, если смотреть слева направо.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных графиков:

График А: Прямая не проходит через начало координат, она пересекает ось $y$ в отрицательной области. Следовательно, этот график не подходит.

График В: Прямая проходит через начало координат $(0; 0)$ и является возрастающей (направлена вверх слева направо). Этот график полностью соответствует обоим условиям.

График Б: Это горизонтальная прямая, которая параллельна оси $x$. Для такой прямой угловой коэффициент $k=0$. Следовательно, этот график не подходит.

График Г: Прямая проходит через начало координат, но она является убывающей (направлена вниз слева направо), что соответствует отрицательному угловому коэффициенту ($k < 0$). Следовательно, этот график не подходит.

Единственный график, удовлетворяющий всем условиям, — это график В. Для дополнительной проверки найдем значение функции в произвольной точке. Например, при $x = 5$:

$y = 0,2 \times 5 = 1$

Таким образом, график должен проходить через точку с координатами $(5; 1)$. Проверив по клеткам на рисунке В, мы видим, что прямая действительно проходит через эту точку, что подтверждает правильность нашего выбора.

Ответ: В.

11. График какой функции изображён на рисунке 66?

А) $y = 3x$

Б) $y = -x + 3$

В) $y = x + 3$

Г) $y = \frac{1}{3}x$

Рис. 66

Для того чтобы определить, график какой функции изображён на рисунке, мы можем применить один из двух методов: либо найти уравнение прямой по двум точкам и сравнить с вариантами, либо проверить, какой из предложенных вариантов удовлетворяет точкам на графике. Второй метод, метод проверки, является более быстрым для задач с выбором ответа.

Сначала выберем на графике две точки, координаты которых легко определить. Удобнее всего взять точки пересечения прямой с осями координат:

1. Точка пересечения с осью $y$: её координаты $(0, 3)$.

2. Точка пересечения с осью $x$: её координаты $(3, 0)$.

Теперь последовательно проверим каждый из предложенных вариантов, подставляя координаты этих точек в уравнения.

А) $y = 3x$

Проверим, проходит ли график этой функции через точку $(0, 3)$. Подставим $x=0$ и $y=3$ в уравнение: $3 = 3 \cdot 0 \implies 3 = 0$. Равенство неверное. Следовательно, этот вариант не подходит.

Б) $y = -x + 3$

Проверим точку $(0, 3)$. Подставим $x=0$ и $y=3$: $3 = -(0) + 3 \implies 3 = 3$. Равенство верное. Теперь для уверенности проверим вторую точку $(3, 0)$. Подставим $x=3$ и $y=0$: $0 = -(3) + 3 \implies 0 = 0$. Равенство также верное. Так как обе ключевые точки принадлежат прямой, это уравнение является верным.

В) $y = x + 3$

Проверим точку $(3, 0)$. Подставим $x=3$ и $y=0$: $0 = 3 + 3 \implies 0 = 6$. Равенство неверное. Следовательно, этот вариант не подходит. Отметим, что точка $(0, 3)$ удовлетворяет этому уравнению ($3=0+3$), поэтому проверка по одной точке не всегда достаточна.

Г) $y = \frac{1}{3}x$

Проверим точку $(3, 0)$. Подставим $x=3$ и $y=0$: $0 = \frac{1}{3} \cdot 3 \implies 0 = 1$. Равенство неверное. Следовательно, этот вариант не подходит.

Таким образом, единственная функция, график которой проходит через обе выбранные точки, – это $y = -x + 3$.

Ответ: Б) $y = -x + 3$

12. При каком значении m график функции

$y = mx + 2m - 5$

пересекает ось x в точке с абсциссой –1?

А) 5

Б) –5

В) –3

Г) 3

По условию задачи, график функции $y = mx + 2m - 5$ пересекает ось $x$ в точке с абсциссой (координатой $x$) равной $-1$.

Точка пересечения с осью $x$ — это точка, у которой ордината (координата $y$) равна нулю. Таким образом, нам известно, что график функции проходит через точку с координатами $(x, y) = (-1, 0)$.

Чтобы найти искомое значение параметра $m$, подставим значения $x = -1$ и $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = m \cdot (-1) + 2m - 5$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$0 = -m + 2m - 5$

Приводим подобные слагаемые в правой части уравнения:

$0 = m - 5$

Отсюда находим $m$:

$m = 5$

Таким образом, при $m=5$ график функции пересечет ось $x$ в точке с абсциссой $-1$. Этот вариант соответствует варианту ответа А).

Ответ: А) 5