Страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1122. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения:

1) $x+y=2;$

2) $x^3-y=1;$

3) $x^2+y^2=9;$

4) $|x|-y=5.$

Чтобы найти координаты точек пересечения графика с осями координат, нужно поочерёдно подставить в уравнение значение одной из координат, равное нулю, и найти значение другой координаты.

• Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy) подставляем $x=0$.
• Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox) подставляем $y=0$.

1) $x + y = 2$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$0 + y = 2 \implies y = 2$.
Точка пересечения: $(0, 2)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$x + 0 = 2 \implies x = 2$.
Точка пересечения: $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$ и $(0, 2)$.

2) $x^3 - y = 1$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$0^3 - y = 1 \implies -y = 1 \implies y = -1$.
Точка пересечения: $(0, -1)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$x^3 - 0 = 1 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.
Точка пересечения: $(1, 0)$.

Ответ: $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

3) $x^2 + y^2 = 9$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$0^2 + y^2 = 9 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$.
Точки пересечения: $(0, 3)$ и $(0, -3)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$x^2 + 0^2 = 9 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Точки пересечения: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -3)$.

4) $|x| - y = 5$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$|0| - y = 5 \implies -y = 5 \implies y = -5$.
Точка пересечения: $(0, -5)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$|x| - 0 = 5 \implies |x| = 5 \implies x = \pm 5$.
Точки пересечения: $(5, 0)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: $(5, 0)$, $(-5, 0)$ и $(0, -5)$.

1123. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения:

1) $2x - 3y = 6;$

2) $x^2 + y = 4;$

3) $|x| + |y| = 7.$

Для нахождения координат точек пересечения графика уравнения с осями координат, необходимо найти значения переменных, при которых одна из координат равна нулю.

1) $2x - 3y = 6$

Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс (Ox), подставим $y = 0$ в уравнение:
$2x - 3 \cdot 0 = 6$
$2x = 6$
$x = 3$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(3, 0)$.

Чтобы найти точку пересечения с осью ординат (Oy), подставим $x = 0$ в уравнение:
$2 \cdot 0 - 3y = 6$
$-3y = 6$
$y = -2$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, -2)$.

Ответ: с осью Ox: $(3, 0)$; с осью Oy: $(0, -2)$.

2) $x^2 + y = 4$

Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, подставим $y = 0$ в уравнение:
$x^2 + 0 = 4$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Координаты точек пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Чтобы найти точку пересечения с осью Oy, подставим $x = 0$ в уравнение:
$0^2 + y = 4$
$y = 4$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.

Ответ: с осью Ox: $(2, 0)$, $(-2, 0)$; с осью Oy: $(0, 4)$.

3) $|x| + |y| = 7$

Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, подставим $y = 0$ в уравнение:
$|x| + |0| = 7$
$|x| = 7$
$x_1 = 7$, $x_2 = -7$
Координаты точек пересечения с осью Ox: $(7, 0)$ и $(-7, 0)$.

Чтобы найти точки пересечения с осью Oy, подставим $x = 0$ в уравнение:
$|0| + |y| = 7$
$|y| = 7$
$y_1 = 7$, $y_2 = -7$
Координаты точек пересечения с осью Oy: $(0, 7)$ и $(0, -7)$.

Ответ: с осью Ox: $(7, 0)$, $(-7, 0)$; с осью Oy: $(0, 7)$, $(0, -7)$.

1124. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:

1) $x=1, y=2;$

2) $x=-3, y=5;$

3) $x=10, y=0.$

1) x=1, y=2;

Задача состоит в том, чтобы найти любое уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, для которого пара чисел $(1; 2)$ является решением. Это означает, что при подстановке $x=1$ и $y=2$ в уравнение мы должны получить верное числовое равенство. Существует бесконечное множество таких уравнений.

Самый простой способ — составить линейное уравнение вида $ax + by = c$. Мы можем выбрать произвольные коэффициенты $a$ и $b$ (не равные нулю одновременно), а затем вычислить соответствующее значение $c$.

Выберем простейшие коэффициенты: $a=1$ и $b=1$. Уравнение примет вид $x+y=c$.

Чтобы найти $c$, подставим в левую часть уравнения заданные значения $x=1$ и $y=2$:
$c = 1 + 2 = 3$.

Таким образом, мы получаем уравнение $x+y=3$.
Проверим его: подставив $x=1$ и $y=2$, получаем $1+2 = 3$, или $3=3$. Равенство верное.

Ответ: $x+y=3$.

2) x=-3, y=5;

Действуем аналогично. Нужно составить уравнение, решением которого является пара $x=-3$, $y=5$.

Возьмем за основу линейное уравнение $x+y=c$. Подставим в него заданные значения переменных, чтобы найти $c$:
$c = (-3) + 5 = 2$.

Следовательно, одно из возможных уравнений — это $x+y=2$.
Проверка: $-3+5=2$, или $2=2$. Равенство верное.

Можно было выбрать и другие коэффициенты. Например, для уравнения $y-x=c$ получили бы:
$c = 5 - (-3) = 5+3=8$.
Уравнение: $y-x=8$.

Ответ: $x+y=2$.

3) x=10, y=0.

Составим уравнение для пары чисел $x=10$, $y=0$.

Снова используем простую форму $x+y=c$. Найдем $c$:
$c = 10 + 0 = 10$.

Искомое уравнение: $x+y=10$.
Проверка: $10+0=10$, или $10=10$. Равенство верное.

Стоит отметить, что для этой пары чисел одним из самых простых уравнений также является $x=10$. Формально это уравнение с двумя переменными вида $1 \cdot x + 0 \cdot y = 10$. При подстановке $x=10$ и любого значения $y$ (в том числе $y=0$) оно обращается в верное равенство.

Ответ: $x+y=10$.

1125. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точку:

1) $A (-2; 2)$;

2) $B (4; -1)$;

3) $C (0; 0)$.

Чтобы составить уравнение с двумя переменными, график которого проходит через заданную точку, необходимо найти такое уравнение, которое становится верным числовым равенством при подстановке в него координат этой точки. Для этого можно использовать уравнение любого вида, но проще всего взять линейное уравнение, например, в форме $ax + by = c$. Мы можем задать коэффициенты $a$ и $b$ (главное, чтобы они не были оба равны нулю), а затем, подставив координаты точки $(x_0; y_0)$, найти соответствующее значение $c$.

1) A (-2; 2);

Для точки A с координатами $x = -2$ и $y = 2$ составим уравнение. Возьмем простейший вид линейного уравнения, где $a=1$ и $b=1$. Уравнение примет вид $x + y = c$.
Чтобы найти константу $c$, подставим координаты точки A в это уравнение:
$(-2) + 2 = c$
$0 = c$
Следовательно, искомое уравнение — это $x + y = 0$.
Проверим: если подставить $x = -2$ и $y = 2$ в уравнение, получим $-2 + 2 = 0$, что является верным равенством. Это подтверждает, что график данного уравнения проходит через точку A.
Ответ: $x + y = 0$.

2) B (4; -1);

Для точки B с координатами $x = 4$ и $y = -1$ поступим аналогично. Возьмем уравнение вида $x - y = c$.
Подставим координаты точки B, чтобы найти $c$:
$4 - (-1) = c$
$4 + 1 = c$
$c = 5$
Таким образом, одно из возможных уравнений — это $x - y = 5$.
Проверка: $4 - (-1) = 5$, что верно. Значит, график уравнения $x - y = 5$ проходит через точку B.
Ответ: $x - y = 5$.

3) C (0; 0).

Для точки C с координатами $x = 0$ и $y = 0$ (начало координат) подберем уравнение. График функции проходит через начало координат, если свободный член в уравнении равен нулю. Рассмотрим уравнение вида $y = kx$.
Подставим координаты точки C:
$0 = k \cdot 0$
$0 = 0$
Это равенство верно для любого значения коэффициента $k$. Мы можем выбрать любое ненулевое значение $k$. Например, пусть $k = 2$.
Тогда уравнение будет $y = 2x$.
Проверка: при $x=0$ и $y=0$ равенство $0 = 2 \cdot 0$ выполняется.
Другим простым примером может быть $y = x$ (при $k=1$) или $x + y = 0$.
Ответ: $y = 2x$.

1126. Придумайте три уравнения, графики которых проходят через точку $M(6; -3)$.

Для того чтобы график уравнения проходил через точку $M(6; -3)$, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Это означает, что при подстановке $x=6$ и $y=-3$ в уравнение мы должны получить верное числовое равенство. Существует бесконечное множество таких уравнений. Ниже приведены три примера.

1. Линейное уравнение

Рассмотрим простое линейное уравнение вида $x+y=c$. Чтобы найти значение константы $c$, подставим в него координаты точки $M(6; -3)$:

$6 + (-3) = c$

$3 = c$

Следовательно, искомое уравнение имеет вид $x+y=3$. Проверим: подставив $x=6$ и $y=-3$, получаем $6+(-3)=3$, что является верным равенством.

Ответ: $x+y=3$.

2. Обратная пропорциональность

Рассмотрим уравнение вида $y = \frac{k}{x}$. Подставим в него координаты точки $M(6; -3)$, чтобы найти коэффициент $k$:

$-3 = \frac{k}{6}$

Умножив обе части на 6, получим:

$k = -3 \cdot 6 = -18$

Следовательно, искомое уравнение имеет вид $y = -\frac{18}{x}$. Проверим: при $x=6$, $y = -\frac{18}{6} = -3$.

Ответ: $y = -\frac{18}{x}$.

3. Горизонтальная прямая

Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (горизонтальной), имеет вид $y = c$, где $c$ – постоянная. Все точки на этой прямой имеют одинаковую ординату.

Поскольку прямая должна проходить через точку $M(6; -3)$, ее ордината должна быть равна $-3$.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид $y = -3$. Проверим: для точки $M(6; -3)$ условие $y=-3$ выполняется.

Ответ: $y = -3$.

1127. Придумайте три уравнения, графики которых проходят через точку $K(0; 4)$.

Чтобы график уравнения проходил через точку K(0; 4), координаты этой точки должны удовлетворять данному уравнению. Это означает, что при подстановке $x = 0$ в уравнение, результатом для $y$ должно быть значение 4. Существует бесконечное множество таких уравнений. Приведем три различных примера.

Первое уравнение (линейная функция)
Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$. Подставим координаты точки K(0; 4) в это уравнение, чтобы найти возможные значения коэффициентов:
$4 = k \cdot 0 + b$
$b = 4$
Таким образом, ордината точки пересечения с осью OY (коэффициент $b$) должна быть равна 4. Угловой коэффициент $k$ может быть любым числом. Для примера, выберем $k = 5$.
Получаем уравнение: $y = 5x + 4$.
Проверка: при $x=0$, $y = 5 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка K(0; 4) принадлежит графику.
Ответ: $y = 5x + 4$.

Второе уравнение (квадратичная функция)
Общий вид уравнения параболы — $y = ax^2 + bx + c$. Подставим координаты точки K(0; 4):
$4 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$
$c = 4$
Свободный член $c$ должен быть равен 4. Коэффициенты $a$ (не равен нулю) и $b$ могут быть любыми. Возьмем простейший случай, когда $a = 1$ и $b = 0$.
Получаем уравнение: $y = x^2 + 4$.
Проверка: при $x=0$, $y = 0^2 + 4 = 4$. Точка K(0; 4) принадлежит графику.
Ответ: $y = x^2 + 4$.

Третье уравнение (уравнение окружности)
Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ — $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$. Можно выбрать центр и радиус так, чтобы точка K(0; 4) лежала на окружности. Например, выберем центр окружности в начале координат, то есть $(x_0; y_0) = (0; 0)$. Уравнение примет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Подставим координаты точки K(0; 4), чтобы найти радиус:
$0^2 + 4^2 = R^2$
$16 = R^2$
Получаем уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 16$.
Проверка: при $x=0$, получаем $0^2 + y^2 = 16$, откуда $y^2 = 16$. Это уравнение имеет два решения: $y = 4$ и $y = -4$. Поскольку $y=4$ является решением, точка K(0; 4) принадлежит графику.
Ответ: $x^2 + y^2 = 16$.

1128. Принадлежат ли графику уравнения $x^4 - y = -2$ точки, имеющие отрицательную ординату?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно определить, какие значения может принимать ордината (координата $y$) для точек, лежащих на графике данного уравнения. Если окажется, что $y$ не может быть отрицательным, то таких точек на графике нет.

Рассмотрим данное уравнение:

$x^4 - y = -2$

Выразим из этого уравнения переменную $y$:

$x^4 + 2 = y$

Таким образом, уравнение графика можно представить в виде функции $y = x^4 + 2$.

Теперь проанализируем возможные значения $y$. Выражение $x^4$ — это переменная $x$, возведенная в четную степень (4). Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю. Математически это записывается как:

$x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Теперь вернемся к нашему выражению для $y$:

$y = x^4 + 2$

Поскольку наименьшее значение слагаемого $x^4$ равно 0 (это достигается при $x=0$), то наименьшее значение для $y$ будет:

$y_{min} = 0 + 2 = 2$

Для всех остальных значений $x$ ($x \ne 0$) значение $x^4$ будет строго положительным, и, следовательно, $y$ будет строго больше 2.

Таким образом, для любой точки на графике уравнения ордината $y$ удовлетворяет неравенству $y \ge 2$.

Это означает, что все точки графика имеют ординату, которая не просто не отрицательна, а даже не меньше 2. Следовательно, на графике уравнения $x^4 - y = -2$ не может быть точек с отрицательной ординатой.

Ответ: Нет, точки, имеющие отрицательную ординату, не принадлежат графику уравнения $x^4 - y = -2$.

1129. Проходит ли график уравнения $x + y^2 = -4$ через точки, имеющие положительную абсциссу?

Рассмотрим данное уравнение: $x + y^2 = -4$.

Чтобы определить, какие значения может принимать абсцисса $x$ для точек, лежащих на графике этого уравнения, выразим $x$ из уравнения:

$x = -4 - y^2$

В этом выражении $y^2$ является квадратом действительного числа $y$. Свойство квадрата любого действительного числа заключается в том, что он всегда неотрицателен, то есть $y^2 \ge 0$.

Рассмотрим, как это влияет на значение $x$. Поскольку $y^2 \ge 0$, то выражение $-y^2$ будет всегда неположительным, то есть $-y^2 \le 0$.

Следовательно, значение $x$ равно сумме $-4$ и неположительного числа $-y^2$. Это означает, что $x$ всегда будет меньше или равен $-4$.

Математически это можно записать так:

Так как $y^2 \ge 0$, то, умножив на $-1$, получим $-y^2 \le 0$.

Прибавив $-4$ к обеим частям неравенства, получим:

$-4 - y^2 \le -4$

А поскольку $x = -4 - y^2$, то мы приходим к выводу, что для любой точки на графике выполняется условие $x \le -4$.

Вопрос задачи состоит в том, проходит ли график через точки, имеющие положительную абсциссу, то есть точки, для которых $x > 0$.

Так как мы установили, что для всех точек графика абсцисса $x \le -4$, то ни одна из этих точек не может иметь положительную абсциссу.

Ответ: Нет, график уравнения $x + y^2 = -4$ не проходит через точки, имеющие положительную абсциссу.

1130. Имеет ли решения уравнение:

1) $y^2 = x^2$;

2) $y^2 = -x^2$;

3) $xy = 0$;

4) $x^2 + y^2 = 25$;

5) $x^2 + y^2 = -25$;

6) $x^2 - y^2 = -9$;

7) $|x| + |y| = 1$;

8) $|x| + |y| = 0$;

9) $|x| + |y| = -1?$;

В случае утвердительного ответа укажите примеры решений.

1) Да, уравнение $y^2 = x^2$ имеет решения. Это уравнение эквивалентно тому, что $|y| = |x|$, то есть $y = x$ или $y = -x$. Любая пара чисел, удовлетворяющая этим условиям, является решением. Например, пара $x = 5, y = 5$ является решением, так как $5^2 = 5^2$. Также решением является пара $x = 5, y = -5$, так как $(-5)^2 = 5^2$.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=1, y=1$.

2) Да, уравнение $y^2 = -x^2$ имеет решения. Перенесем $-x^2$ в левую часть: $x^2 + y^2 = 0$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), их сумма равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. То есть $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$, откуда $x=0$ и $y=0$. Это единственное решение.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=0, y=0$.

3) Да, уравнение $xy = 0$ имеет решения. Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. То есть решениями являются все пары чисел $(x, y)$, где либо $x=0$, либо $y=0$, либо оба равны нулю.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=0, y=7$.

4) Да, уравнение $x^2 + y^2 = 25$ имеет решения. Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$. Любая точка на этой окружности является решением. Например, точки пересечения с осями координат: $(5, 0), (-5, 0), (0, 5), (0, -5)$. Также решением является пара чисел из пифагоровой тройки $(3, 4)$, так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=3, y=4$.

5) Нет, уравнение $x^2 + y^2 = -25$ не имеет решений в действительных числах. Левая часть уравнения, $x^2 + y^2$, представляет собой сумму квадратов двух действительных чисел, которая всегда неотрицательна ($x^2 + y^2 \ge 0$). Правая часть уравнения равна -25, что является отрицательным числом. Неотрицательная величина не может быть равна отрицательной.
Ответ: Нет, не имеет.

6) Да, уравнение $x^2 - y^2 = -9$ имеет решения. Его можно переписать в виде $y^2 - x^2 = 9$. Это уравнение гиперболы. Можно подобрать решение. Например, если положить $x=0$, то получим $-y^2 = -9$, откуда $y^2 = 9$ и $y = \pm 3$.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=0, y=3$.

7) Да, уравнение $|x| + |y| = 1$ имеет решения. Модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной. Сумма двух неотрицательных величин может быть равна 1. Например, если $x=1$, то $|1| + |y| = 1$, откуда $1 + |y| = 1$, что дает $|y|=0$, то есть $y=0$.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=1, y=0$.

8) Да, уравнение $|x| + |y| = 0$ имеет решения. Так как $|x| \ge 0$ и $|y| \ge 0$, их сумма равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. То есть $|x| = 0$ и $|y| = 0$, откуда $x=0$ и $y=0$. Это единственное решение.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=0, y=0$.

9) Нет, уравнение $|x| + |y| = -1$ не имеет решений. Левая часть уравнения, $|x| + |y|$, является суммой модулей и всегда неотрицательна ($|x| + |y| \ge 0$). Правая часть равна -1, что является отрицательным числом. Равенство невозможно.
Ответ: Нет, не имеет.

1131. Решите уравнение:

1) $x^2 + y^2 = 0$;

2) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$;

3) $x^4 + y^6 = -4.$

1) В уравнении $x^2 + y^2 = 0$ левая часть представляет собой сумму двух слагаемых: $x^2$ и $y^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, мы имеем $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, данное уравнение эквивалентно системе уравнений:
$ \begin{cases} x^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $
Из этой системы следует, что $x=0$ и $y=0$.
Ответ: $x=0$, $y=0$.

2) Уравнение $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 0$ решается аналогично предыдущему. Слагаемые $(x+2)^2$ и $(y-3)^2$ являются квадратами выражений, поэтому они не могут быть отрицательными: $(x+2)^2 \ge 0$ и $(y-3)^2 \ge 0$. Сумма этих двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю.
$ \begin{cases} (x+2)^2 = 0 \\ (y-3)^2 = 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$x+2=0 \Rightarrow x=-2$
$y-3=0 \Rightarrow y=3$
Ответ: $x=-2$, $y=3$.

3) Рассмотрим уравнение $x^4 + y^6 = -4$. Левая часть уравнения состоит из суммы двух слагаемых $x^4$ и $y^6$. Поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то $x^4 \ge 0$ и $y^6 \ge 0$. Следовательно, их сумма также должна быть неотрицательной: $x^4 + y^6 \ge 0$.
Однако правая часть уравнения равна -4, что является отрицательным числом. Неотрицательное значение не может быть равно отрицательному. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: решений нет.

1132. Сколько решений имеет уравнение:

1) $x^2 + (y-2)^2 = 0;$

2) $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 0;$

3) $9x^2 + 16y^2 = 0;$

4) $(x^2 + y^2)y = 0;$

5) $xy = 2;$

6) $|x+1| + |y| = 0;$

7) $x^2 + |y| = -100;$

8) $x+y = 2?$

1) Уравнение $x^2 + (y-2)^2 = 0$.
Левая часть уравнения является суммой двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 = 0 \\ (y-2)^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует $x=0$.
Из второго уравнения следует $y-2=0$, то есть $y=2$.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение в виде пары чисел $(0; 2)$.
Ответ: одно решение.

2) Уравнение $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 0$.
Аналогично предыдущему пункту, это сумма двух квадратов. Она равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю:
$\begin{cases} (x+3)^2 = 0 \\ (y-1)^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует $x+3=0$, то есть $x=-3$.
Из второго уравнения следует $y-1=0$, то есть $y=1$.
Уравнение имеет единственное решение $(-3; 1)$.
Ответ: одно решение.

3) Уравнение $9x^2 + 16y^2 = 0$.
Слагаемые $9x^2$ и $16y^2$ неотрицательны для любых действительных $x$ и $y$. Их сумма равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю:
$\begin{cases} 9x^2 = 0 \\ 16y^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения $x^2=0$, то есть $x=0$.
Из второго уравнения $y^2=0$, то есть $y=0$.
Уравнение имеет единственное решение $(0; 0)$.
Ответ: одно решение.

4) Уравнение $(x^2 + y^2)y = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $y = 0$. В этом случае уравнение принимает вид $(x^2 + 0^2) \cdot 0 = 0$, то есть $0=0$. Это верное равенство при любом значении $x$. Значит, любая пара вида $(x; 0)$, где $x$ — любое действительное число, является решением. Например, $(1; 0)$, $(-5; 0)$, $(0; 0)$ и т.д. Таких пар бесконечно много.
2. $x^2 + y^2 = 0$. Как мы знаем из предыдущих примеров, это равенство выполняется только при $x=0$ и $y=0$. Это решение $(0; 0)$ уже учтено в первом случае.
Поскольку существует бесконечное множество решений вида $(x; 0)$, то и все уравнение имеет бесконечно много решений.
Ответ: бесконечно много решений.

5) Уравнение $xy = 2$.
Из этого уравнения можно выразить $y$ через $x$ (при условии $x \ne 0$): $y = \frac{2}{x}$.
Для каждого ненулевого значения $x$ мы можем найти соответствующее значение $y$. Например:
- если $x=1$, то $y=2$;
- если $x=2$, то $y=1$;
- если $x=-4$, то $y = -0.5$.
Поскольку мы можем выбрать бесконечно много различных значений для $x$, мы получим бесконечно много соответствующих пар $(x; y)$, которые являются решениями. Графиком этого уравнения является гипербола, состоящая из бесконечного числа точек.
Ответ: бесконечно много решений.

6) Уравнение $|x+1| + |y| = 0$.
Левая часть уравнения — это сумма модулей. Модуль любого числа является неотрицательной величиной: $|x+1| \ge 0$ и $|y| \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю.
$\begin{cases} |x+1| = 0 \\ |y| = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения $x+1=0$, то есть $x=-1$.
Из второго уравнения $y=0$.
Уравнение имеет единственное решение $(-1; 0)$.
Ответ: одно решение.

7) Уравнение $x^2 + |y| = -100$.
Рассмотрим левую часть уравнения. Слагаемое $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Слагаемое $|y|$ также всегда неотрицательно ($|y| \ge 0$).
Сумма двух неотрицательных чисел, $x^2 + |y|$, всегда будет неотрицательной, то есть $x^2 + |y| \ge 0$.
Однако, правая часть уравнения равна $-100$, что является отрицательным числом.
Неотрицательное число не может быть равно отрицательному. Следовательно, не существует таких действительных чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы этому уравнению.
Ответ: нет решений.

8) Уравнение $x+y=2$.
Это линейное уравнение с двумя переменными. Его можно переписать в виде $y=2-x$.
Для любого действительного значения $x$, которое мы выберем, мы можем вычислить соответствующее значение $y$. Например:
- если $x=0$, то $y=2$;
- если $x=2$, то $y=0$;
- если $x=10$, то $y=-8$.
Так как существует бесконечно много действительных чисел для выбора $x$, существует и бесконечно много пар $(x;y)$, являющихся решениями. Графиком этого уравнения является прямая линия, которая содержит бесконечное множество точек.
Ответ: бесконечно много решений.

1133.Приведите пример уравнения с переменными x и y:

1) имеющего одно решение;

2) не имеющего решений;

3) имеющего бесконечно много решений;

4) решением которого является любая пара чисел.

1) имеющего одно решение;

Для того чтобы уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ имело только одно решение, необходимо, чтобы оно выполнялось только для одной уникальной пары чисел $(x; y)$. Этого можно достичь, используя свойство неотрицательных выражений. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю), мы можем составить такое уравнение.

Рассмотрим уравнение вида $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = 0 $.

Это равенство справедливо только в том случае, если оба слагаемых равны нулю: $ (x - a)^2 = 0 $ и $ (y - b)^2 = 0 $.

Из этого следует, что $ x - a = 0 $ и $ y - b = 0 $, то есть $ x = a $ и $ y = b $. Таким образом, пара чисел $(a; b)$ является единственным решением.

В качестве конкретного примера возьмем $ a=2 $ и $ b=4 $. Уравнение примет вид: $ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 0 $. Его единственное решение — это пара чисел $(2; 4)$.

Ответ: $ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 0 $.

2) не имеющего решений;

Уравнение не имеет решений, если оно представляет собой тождественно ложное равенство, которое не выполняется ни при каких значениях переменных. Снова используем свойство неотрицательности выражений. Сумма двух неотрицательных выражений (например, квадратов или модулей) всегда будет неотрицательной. Если приравнять такую сумму к заведомо отрицательному числу, получится уравнение, не имеющее решений в действительных числах.

Рассмотрим уравнение: $ x^2 + y^2 = -5 $.

Для любых действительных чисел $x$ и $y$, их квадраты $x^2$ и $y^2$ неотрицательны: $ x^2 \ge 0 $ и $ y^2 \ge 0 $. Следовательно, их сумма $ x^2 + y^2 $ также всегда неотрицательна: $ x^2 + y^2 \ge 0 $.

Таким образом, равенство $ x^2 + y^2 = -5 $ никогда не может быть верным, так как неотрицательное число не может равняться отрицательному.

Ответ: $ x^2 + y^2 = -5 $.

3) имеющего бесконечно много решений;

Большинство уравнений с двумя переменными имеют бесконечное множество решений. Типичным примером является линейное уравнение с двумя переменными вида $ ax + by = c $, где коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Множество решений такого уравнения образует прямую на координатной плоскости.

Возьмем простое уравнение: $ x + y = 10 $.

Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую, например, $ y = 10 - x $. Теперь, подставляя любое действительное число вместо $x$, мы можем найти соответствующее значение $y$, и полученная пара $(x; y)$ будет решением. Например: если $ x = 0 $, то $ y = 10 $, решение $(0; 10)$; если $ x = 5 $, то $ y = 5 $, решение $(5; 5)$; если $ x = -2 $, то $ y = 12 $, решение $(-2; 12)$. Поскольку существует бесконечное множество значений для $x$, существует и бесконечное множество решений уравнения.

Ответ: $ x + y = 10 $.

4) решением которого является любая пара чисел.

Если решением уравнения является любая пара чисел, то это уравнение является тождеством. Тождество — это равенство, которое остается верным при любых значениях входящих в него переменных. Такое уравнение после преобразований сводится к очевидному равенству, например, $ 0 = 0 $ или $ A = A $.

Рассмотрим уравнение, построенное на основе алгебраического тождества, например, формулы разности квадратов: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

Перенесем все члены в левую часть: $ (x-y)(x+y) - (x^2 - y^2) = 0 $.

Раскрыв скобки в левой части, мы получим $ x^2 - y^2 $. Тогда уравнение примет вид: $ (x^2 - y^2) - (x^2 - y^2) = 0 $, что упрощается до $ 0 = 0 $.

Это равенство истинно для абсолютно любой пары чисел $(x; y)$. Другой простой пример: $ 5(x+y) = 5x+5y $.

Ответ: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

1134. Что представляет собой график уравнения:

1) $ (x-1)^2 + (y+5)^2 = 0; $

2) $ |x+9| + |y-8| = 0; $

3) $ 4x + y = y + 4x, $

4) $ (x-1)(y+5) = 0? $

1) Рассмотрим уравнение $(x-1)^2 + (y+5)^2 = 0$. Выражения $(x-1)^2$ и $(y+5)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y+5)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений: $ \begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (y+5)^2 = 0 \end{cases} $ Из этой системы получаем: $ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 5 = 0 \end{cases} $ Решая систему, находим: $ \begin{cases} x = 1 \\ y = -5 \end{cases} $ Таким образом, графиком данного уравнения является единственная точка с координатами (1; -5).
Ответ: Точка с координатами (1; -5).

2) Рассмотрим уравнение $|x+9| + |y-8| = 0$. Выражения $|x+9|$ и $|y-8|$ являются модулями действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны, то есть $|x+9| \ge 0$ и $|y-8| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений: $ \begin{cases} |x+9| = 0 \\ |y-8| = 0 \end{cases} $ Из этой системы получаем: $ \begin{cases} x + 9 = 0 \\ y - 8 = 0 \end{cases} $ Решая систему, находим: $ \begin{cases} x = -9 \\ y = 8 \end{cases} $ Таким образом, графиком данного уравнения является единственная точка с координатами (-9; 8).
Ответ: Точка с координатами (-9; 8).

3) Рассмотрим уравнение $4x + y = y + 4x$. Упростим данное уравнение. Перенесем все члены в левую часть: $4x + y - y - 4x = 0$ Приводя подобные слагаемые, получаем: $0 = 0$ Это верное числовое равенство, которое не зависит от значений переменных $x$ и $y$. Это означает, что любая пара чисел $(x; y)$ является решением данного уравнения. Следовательно, графиком уравнения является вся координатная плоскость.
Ответ: Вся координатная плоскость.

4) Рассмотрим уравнение $(x-1)(y+5) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x-1 = 0$ или $y+5 = 0$. Из первого уравнения получаем $x=1$. Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси ординат (оси OY) и проходящая через точку (1; 0). Из второго уравнения получаем $y=-5$. Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (оси OX) и проходящая через точку (0; -5). Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Две пересекающиеся прямые: $x=1$ и $y=-5$.