Номер 1130, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1130, страница 215.

Условие.

1130. Имеет ли решения уравнение:

1) $y^2 = x^2$;

2) $y^2 = -x^2$;

3) $xy = 0$;

4) $x^2 + y^2 = 25$;

5) $x^2 + y^2 = -25$;

6) $x^2 - y^2 = -9$;

7) $|x| + |y| = 1$;

8) $|x| + |y| = 0$;

9) $|x| + |y| = -1?$;

В случае утвердительного ответа укажите примеры решений.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Да, уравнение $y^2 = x^2$ имеет решения. Это уравнение эквивалентно тому, что $|y| = |x|$, то есть $y = x$ или $y = -x$. Любая пара чисел, удовлетворяющая этим условиям, является решением. Например, пара $x = 5, y = 5$ является решением, так как $5^2 = 5^2$. Также решением является пара $x = 5, y = -5$, так как $(-5)^2 = 5^2$.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=1, y=1$.

2) Да, уравнение $y^2 = -x^2$ имеет решения. Перенесем $-x^2$ в левую часть: $x^2 + y^2 = 0$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), их сумма равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. То есть $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$, откуда $x=0$ и $y=0$. Это единственное решение.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=0, y=0$.

3) Да, уравнение $xy = 0$ имеет решения. Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. То есть решениями являются все пары чисел $(x, y)$, где либо $x=0$, либо $y=0$, либо оба равны нулю.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=0, y=7$.

4) Да, уравнение $x^2 + y^2 = 25$ имеет решения. Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$. Любая точка на этой окружности является решением. Например, точки пересечения с осями координат: $(5, 0), (-5, 0), (0, 5), (0, -5)$. Также решением является пара чисел из пифагоровой тройки $(3, 4)$, так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=3, y=4$.

5) Нет, уравнение $x^2 + y^2 = -25$ не имеет решений в действительных числах. Левая часть уравнения, $x^2 + y^2$, представляет собой сумму квадратов двух действительных чисел, которая всегда неотрицательна ($x^2 + y^2 \ge 0$). Правая часть уравнения равна -25, что является отрицательным числом. Неотрицательная величина не может быть равна отрицательной.
Ответ: Нет, не имеет.

6) Да, уравнение $x^2 - y^2 = -9$ имеет решения. Его можно переписать в виде $y^2 - x^2 = 9$. Это уравнение гиперболы. Можно подобрать решение. Например, если положить $x=0$, то получим $-y^2 = -9$, откуда $y^2 = 9$ и $y = \pm 3$.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=0, y=3$.

7) Да, уравнение $|x| + |y| = 1$ имеет решения. Модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной. Сумма двух неотрицательных величин может быть равна 1. Например, если $x=1$, то $|1| + |y| = 1$, откуда $1 + |y| = 1$, что дает $|y|=0$, то есть $y=0$.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=1, y=0$.

8) Да, уравнение $|x| + |y| = 0$ имеет решения. Так как $|x| \ge 0$ и $|y| \ge 0$, их сумма равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. То есть $|x| = 0$ и $|y| = 0$, откуда $x=0$ и $y=0$. Это единственное решение.
Ответ: Да, имеет. Пример: $x=0, y=0$.

9) Нет, уравнение $|x| + |y| = -1$ не имеет решений. Левая часть уравнения, $|x| + |y|$, является суммой модулей и всегда неотрицательна ($|x| + |y| \ge 0$). Правая часть равна -1, что является отрицательным числом. Равенство невозможно.
Ответ: Нет, не имеет.