Номер 1135, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1135, страница 216.

Условие.

1135.Постройте график уравнения:

1) $(x + 2)^2 + y^2 = 0;$

2) $|x| + (y - 3)^2 = 0;$

3) $(x + 1)(y - 1) = 0;$

4) $xy - 2y = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Рассмотрим уравнение $(x+2)^2 + y^2 = 0$.
Выражения $(x+2)^2$ и $y^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(x+2)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} (x+2)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x+2 = 0 \\ y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -2 \\ y = 0 \end{cases} $
Таким образом, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(-2; 0)$. Графиком этого уравнения является одна точка на координатной плоскости.
Ответ: Графиком уравнения является точка с координатами $(-2; 0)$.

2) Рассмотрим уравнение $|x| + (y-3)^2 = 0$.
Выражение $|x|$ (модуль числа) и выражение $(y-3)^2$ (квадрат числа) всегда принимают неотрицательные значения: $|x| \ge 0$ и $(y-3)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} |x| = 0 \\ (y-3)^2 = 0 \end{cases} $
Решаем систему:
$ \begin{cases} x = 0 \\ y-3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ y = 3 \end{cases} $
Уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(0; 3)$. Графиком этого уравнения является точка на координатной плоскости.
Ответ: Графиком уравнения является точка с координатами $(0; 3)$.

3) Рассмотрим уравнение $(x+1)(y-1) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Следовательно, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
$x+1=0$ или $y-1=0$.
Из первого уравнения получаем $x = -1$. Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси $Oy$ (оси ординат) и проходящая через точку $(-1; 0)$.
Из второго уравнения получаем $y = 1$. Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси $Ox$ (оси абсцисс) и проходящая через точку $(0; 1)$.
Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $x=-1$ и $y=1$.

4) Рассмотрим уравнение $xy - 2y = 0$.
Для решения вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
$y=0$ или $x-2=0$.
Уравнение $y=0$ задает ось абсцисс ($Ox$).
Уравнение $x-2=0$, или $x=2$, задает прямую, параллельную оси ординат ($Oy$) и проходящую через точку $(2; 0)$.
Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y=0$ (ось $Ox$) и $x=2$.