Номер 1142, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1142, страница 216.

Условие.

1142. Решите уравнение:

1) $x^2 + y^2 + 4 = 4y;$

2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0;$

3) $x^2 + y^2 + x + y + 0,5 = 0;$

4) $9x^2 + y^2 + 2 = 6x.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2 + y^2 + 4 = 4y$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $y$, и заметим, что они образуют полный квадрат. Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае, выражение $y^2 - 4y + 4$ можно записать как $y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2$, что является полным квадратом $(y-2)^2$.

Подставим это обратно в уравнение:

$x^2 + (y-2)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из оснований квадратов равно нулю, так как $x^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$.

Это приводит к системе двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 = 0 \\ (y-2)^2 = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} x = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \end{cases}$

Ответ: $(0; 2)$.

2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) + 10 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой группы, используя формулы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Для группы с $x$: $x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$.

Для группы с $y$: $y^2 - 6y = (y^2 - 6y + 9) - 9 = (y-3)^2 - 9$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(x+1)^2 - 1 + (y-3)^2 - 9 + 10 = 0$

Упростим, сложив константы:

$(x+1)^2 + (y-3)^2 - 10 + 10 = 0$

$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю только если оба основания равны нулю:

$\begin{cases} (x+1)^2 = 0 \\ (y-3)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 1 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases}$

Ответ: $(-1; 3)$.

3) $x^2 + y^2 + x + y + 0,5 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$:

$(x^2 + x) + (y^2 + y) + 0,5 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой группы. Для этого к выражению $a^2+2ab$ нужно добавить $b^2$.

Для группы с $x$: $x^2 + x = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $(\frac{1}{2})^2 = 0,25$. Итак, $x^2 + x = (x^2 + x + 0,25) - 0,25 = (x+0,5)^2 - 0,25$.

Аналогично для группы с $y$: $y^2 + y = (y^2 + y + 0,25) - 0,25 = (y+0,5)^2 - 0,25$.

Подставим в уравнение:

$(x+0,5)^2 - 0,25 + (y+0,5)^2 - 0,25 + 0,5 = 0$

Упростим константы:

$(x+0,5)^2 + (y+0,5)^2 - 0,5 + 0,5 = 0$

$(x+0,5)^2 + (y+0,5)^2 = 0$

Равенство верно, только если оба слагаемых равны нулю:

$\begin{cases} (x+0,5)^2 = 0 \\ (y+0,5)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 0,5 = 0 \\ y + 0,5 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -0,5 \\ y = -0,5 \end{cases}$

Ответ: $(-0,5; -0,5)$.

4) $9x^2 + y^2 + 2 = 6x$

Перенесем все члены в левую часть:

$9x^2 - 6x + y^2 + 2 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и выделим полный квадрат:

$(9x^2 - 6x) + y^2 + 2 = 0$

Выражение $9x^2 - 6x$ можно представить в виде $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1$. Для получения полного квадрата $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ необходимо добавить $b^2 = 1^2 = 1$.

Добавим и вычтем 1:

$(9x^2 - 6x + 1) - 1 + y^2 + 2 = 0$

Теперь мы можем записать полный квадрат:

$(3x-1)^2 - 1 + y^2 + 2 = 0$

Упростим уравнение:

$(3x-1)^2 + y^2 + 1 = 0$

Перенесем константу в правую часть:

$(3x-1)^2 + y^2 = -1$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(3x-1)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма также неотрицательна: $(3x-1)^2 + y^2 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число -1. Неотрицательное число не может равняться отрицательному, поэтому данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.