Номер 1137, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1137, страница 216.

Условие.

1137. Найдите все пары $(x, y)$ натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения (решите уравнение в натуральных числах):

1) $2x + 3y = 5;$

2) $x + 5y = 16.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $2x + 3y = 5$

По условию задачи, $x$ и $y$ являются натуральными числами, то есть $x \in \mathbb{N}$ и $y \in \mathbb{N}$. В российской математической традиции это означает, что $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Выразим одну переменную через другую из уравнения $2x + 3y = 5$. Удобнее выразить $x$, так как его коэффициент меньше:
$2x = 5 - 3y$
$x = \frac{5 - 3y}{2}$
Так как $x$ – натуральное число, должно выполняться условие $x \ge 1$. Следовательно:
$\frac{5 - 3y}{2} \ge 1$
Умножим обе части на 2:
$5 - 3y \ge 2$
Вычтем 5 из обеих частей:
$-3y \ge -3$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:
$y \le 1$
С другой стороны, мы знаем, что $y$ – натуральное число, поэтому $y \ge 1$.
Объединяя два условия, $y \ge 1$ и $y \le 1$, получаем единственно возможное значение для $y$: $y = 1$.
Теперь подставим это значение $y$ в выражение для $x$:
$x = \frac{5 - 3(1)}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Получили пару чисел $(1, 1)$. Проверим, являются ли оба числа натуральными (да, являются) и удовлетворяют ли они исходному уравнению:
$2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5$.
Равенство выполняется. Так как мы нашли единственное возможное натуральное значение для $y$, то и решение является единственным.

Ответ: $(1, 1)$.

2) $x + 5y = 16$

Здесь $x$ и $y$ также натуральные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Выразим $x$ из уравнения:
$x = 16 - 5y$
Так как $x$ – натуральное число, должно выполняться условие $x \ge 1$:
$16 - 5y \ge 1$
$15 \ge 5y$
$3 \ge y$ или $y \le 3$.
Поскольку $y$ – натуральное число, то $y \ge 1$. Таким образом, возможные натуральные значения для $y$ это $1, 2, 3$.
Рассмотрим каждый из этих случаев:
1. Если $y = 1$, то $x = 16 - 5(1) = 16 - 5 = 11$. $x=11$ – натуральное число. Получаем пару $(11, 1)$.
2. Если $y = 2$, то $x = 16 - 5(2) = 16 - 10 = 6$. $x=6$ – натуральное число. Получаем пару $(6, 2)$.
3. Если $y = 3$, то $x = 16 - 5(3) = 16 - 15 = 1$. $x=1$ – натуральное число. Получаем пару $(1, 3)$.
Если взять следующее натуральное число $y = 4$, то $x = 16 - 5(4) = 16 - 20 = -4$, что не является натуральным числом. Следовательно, других решений в натуральных числах нет.
Проверим все найденные пары, подставив их в исходное уравнение:
Для пары $(11, 1)$: $11 + 5(1) = 11 + 5 = 16$. Верно.
Для пары $(6, 2)$: $6 + 5(2) = 6 + 10 = 16$. Верно.
Для пары $(1, 3)$: $1 + 5(3) = 1 + 15 = 16$. Верно.
Все три пары являются решениями.

Ответ: $(11, 1)$, $(6, 2)$, $(1, 3)$.