Номер 1133, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1133, страница 215.

Условие.

1133.Приведите пример уравнения с переменными x и y:

1) имеющего одно решение;

2) не имеющего решений;

3) имеющего бесконечно много решений;

4) решением которого является любая пара чисел.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) имеющего одно решение;

Для того чтобы уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ имело только одно решение, необходимо, чтобы оно выполнялось только для одной уникальной пары чисел $(x; y)$. Этого можно достичь, используя свойство неотрицательных выражений. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю), мы можем составить такое уравнение.

Рассмотрим уравнение вида $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = 0 $.

Это равенство справедливо только в том случае, если оба слагаемых равны нулю: $ (x - a)^2 = 0 $ и $ (y - b)^2 = 0 $.

Из этого следует, что $ x - a = 0 $ и $ y - b = 0 $, то есть $ x = a $ и $ y = b $. Таким образом, пара чисел $(a; b)$ является единственным решением.

В качестве конкретного примера возьмем $ a=2 $ и $ b=4 $. Уравнение примет вид: $ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 0 $. Его единственное решение — это пара чисел $(2; 4)$.

Ответ: $ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 0 $.

2) не имеющего решений;

Уравнение не имеет решений, если оно представляет собой тождественно ложное равенство, которое не выполняется ни при каких значениях переменных. Снова используем свойство неотрицательности выражений. Сумма двух неотрицательных выражений (например, квадратов или модулей) всегда будет неотрицательной. Если приравнять такую сумму к заведомо отрицательному числу, получится уравнение, не имеющее решений в действительных числах.

Рассмотрим уравнение: $ x^2 + y^2 = -5 $.

Для любых действительных чисел $x$ и $y$, их квадраты $x^2$ и $y^2$ неотрицательны: $ x^2 \ge 0 $ и $ y^2 \ge 0 $. Следовательно, их сумма $ x^2 + y^2 $ также всегда неотрицательна: $ x^2 + y^2 \ge 0 $.

Таким образом, равенство $ x^2 + y^2 = -5 $ никогда не может быть верным, так как неотрицательное число не может равняться отрицательному.

Ответ: $ x^2 + y^2 = -5 $.

3) имеющего бесконечно много решений;

Большинство уравнений с двумя переменными имеют бесконечное множество решений. Типичным примером является линейное уравнение с двумя переменными вида $ ax + by = c $, где коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Множество решений такого уравнения образует прямую на координатной плоскости.

Возьмем простое уравнение: $ x + y = 10 $.

Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую, например, $ y = 10 - x $. Теперь, подставляя любое действительное число вместо $x$, мы можем найти соответствующее значение $y$, и полученная пара $(x; y)$ будет решением. Например: если $ x = 0 $, то $ y = 10 $, решение $(0; 10)$; если $ x = 5 $, то $ y = 5 $, решение $(5; 5)$; если $ x = -2 $, то $ y = 12 $, решение $(-2; 12)$. Поскольку существует бесконечное множество значений для $x$, существует и бесконечное множество решений уравнения.

Ответ: $ x + y = 10 $.

4) решением которого является любая пара чисел.

Если решением уравнения является любая пара чисел, то это уравнение является тождеством. Тождество — это равенство, которое остается верным при любых значениях входящих в него переменных. Такое уравнение после преобразований сводится к очевидному равенству, например, $ 0 = 0 $ или $ A = A $.

Рассмотрим уравнение, построенное на основе алгебраического тождества, например, формулы разности квадратов: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

Перенесем все члены в левую часть: $ (x-y)(x+y) - (x^2 - y^2) = 0 $.

Раскрыв скобки в левой части, мы получим $ x^2 - y^2 $. Тогда уравнение примет вид: $ (x^2 - y^2) - (x^2 - y^2) = 0 $, что упрощается до $ 0 = 0 $.

Это равенство истинно для абсолютно любой пары чисел $(x; y)$. Другой простой пример: $ 5(x+y) = 5x+5y $.

Ответ: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.