Номер 1127, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1127, страница 215.

Условие.

1127. Придумайте три уравнения, графики которых проходят через точку $K(0; 4)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы график уравнения проходил через точку K(0; 4), координаты этой точки должны удовлетворять данному уравнению. Это означает, что при подстановке $x = 0$ в уравнение, результатом для $y$ должно быть значение 4. Существует бесконечное множество таких уравнений. Приведем три различных примера.

Первое уравнение (линейная функция)
Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$. Подставим координаты точки K(0; 4) в это уравнение, чтобы найти возможные значения коэффициентов:
$4 = k \cdot 0 + b$
$b = 4$
Таким образом, ордината точки пересечения с осью OY (коэффициент $b$) должна быть равна 4. Угловой коэффициент $k$ может быть любым числом. Для примера, выберем $k = 5$.
Получаем уравнение: $y = 5x + 4$.
Проверка: при $x=0$, $y = 5 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка K(0; 4) принадлежит графику.
Ответ: $y = 5x + 4$.

Второе уравнение (квадратичная функция)
Общий вид уравнения параболы — $y = ax^2 + bx + c$. Подставим координаты точки K(0; 4):
$4 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$
$c = 4$
Свободный член $c$ должен быть равен 4. Коэффициенты $a$ (не равен нулю) и $b$ могут быть любыми. Возьмем простейший случай, когда $a = 1$ и $b = 0$.
Получаем уравнение: $y = x^2 + 4$.
Проверка: при $x=0$, $y = 0^2 + 4 = 4$. Точка K(0; 4) принадлежит графику.
Ответ: $y = x^2 + 4$.

Третье уравнение (уравнение окружности)
Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ — $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$. Можно выбрать центр и радиус так, чтобы точка K(0; 4) лежала на окружности. Например, выберем центр окружности в начале координат, то есть $(x_0; y_0) = (0; 0)$. Уравнение примет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Подставим координаты точки K(0; 4), чтобы найти радиус:
$0^2 + 4^2 = R^2$
$16 = R^2$
Получаем уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 16$.
Проверка: при $x=0$, получаем $0^2 + y^2 = 16$, откуда $y^2 = 16$. Это уравнение имеет два решения: $y = 4$ и $y = -4$. Поскольку $y=4$ является решением, точка K(0; 4) принадлежит графику.
Ответ: $x^2 + y^2 = 16$.