Номер 1132, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1132, страница 215.

Условие.

1132. Сколько решений имеет уравнение:

1) $x^2 + (y-2)^2 = 0;$

2) $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 0;$

3) $9x^2 + 16y^2 = 0;$

4) $(x^2 + y^2)y = 0;$

5) $xy = 2;$

6) $|x+1| + |y| = 0;$

7) $x^2 + |y| = -100;$

8) $x+y = 2?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Уравнение $x^2 + (y-2)^2 = 0$.
Левая часть уравнения является суммой двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 = 0 \\ (y-2)^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует $x=0$.
Из второго уравнения следует $y-2=0$, то есть $y=2$.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение в виде пары чисел $(0; 2)$.
Ответ: одно решение.

2) Уравнение $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 0$.
Аналогично предыдущему пункту, это сумма двух квадратов. Она равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю:
$\begin{cases} (x+3)^2 = 0 \\ (y-1)^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует $x+3=0$, то есть $x=-3$.
Из второго уравнения следует $y-1=0$, то есть $y=1$.
Уравнение имеет единственное решение $(-3; 1)$.
Ответ: одно решение.

3) Уравнение $9x^2 + 16y^2 = 0$.
Слагаемые $9x^2$ и $16y^2$ неотрицательны для любых действительных $x$ и $y$. Их сумма равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю:
$\begin{cases} 9x^2 = 0 \\ 16y^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения $x^2=0$, то есть $x=0$.
Из второго уравнения $y^2=0$, то есть $y=0$.
Уравнение имеет единственное решение $(0; 0)$.
Ответ: одно решение.

4) Уравнение $(x^2 + y^2)y = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $y = 0$. В этом случае уравнение принимает вид $(x^2 + 0^2) \cdot 0 = 0$, то есть $0=0$. Это верное равенство при любом значении $x$. Значит, любая пара вида $(x; 0)$, где $x$ — любое действительное число, является решением. Например, $(1; 0)$, $(-5; 0)$, $(0; 0)$ и т.д. Таких пар бесконечно много.
2. $x^2 + y^2 = 0$. Как мы знаем из предыдущих примеров, это равенство выполняется только при $x=0$ и $y=0$. Это решение $(0; 0)$ уже учтено в первом случае.
Поскольку существует бесконечное множество решений вида $(x; 0)$, то и все уравнение имеет бесконечно много решений.
Ответ: бесконечно много решений.

5) Уравнение $xy = 2$.
Из этого уравнения можно выразить $y$ через $x$ (при условии $x \ne 0$): $y = \frac{2}{x}$.
Для каждого ненулевого значения $x$ мы можем найти соответствующее значение $y$. Например:
- если $x=1$, то $y=2$;
- если $x=2$, то $y=1$;
- если $x=-4$, то $y = -0.5$.
Поскольку мы можем выбрать бесконечно много различных значений для $x$, мы получим бесконечно много соответствующих пар $(x; y)$, которые являются решениями. Графиком этого уравнения является гипербола, состоящая из бесконечного числа точек.
Ответ: бесконечно много решений.

6) Уравнение $|x+1| + |y| = 0$.
Левая часть уравнения — это сумма модулей. Модуль любого числа является неотрицательной величиной: $|x+1| \ge 0$ и $|y| \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю.
$\begin{cases} |x+1| = 0 \\ |y| = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения $x+1=0$, то есть $x=-1$.
Из второго уравнения $y=0$.
Уравнение имеет единственное решение $(-1; 0)$.
Ответ: одно решение.

7) Уравнение $x^2 + |y| = -100$.
Рассмотрим левую часть уравнения. Слагаемое $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Слагаемое $|y|$ также всегда неотрицательно ($|y| \ge 0$).
Сумма двух неотрицательных чисел, $x^2 + |y|$, всегда будет неотрицательной, то есть $x^2 + |y| \ge 0$.
Однако, правая часть уравнения равна $-100$, что является отрицательным числом.
Неотрицательное число не может быть равно отрицательному. Следовательно, не существует таких действительных чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы этому уравнению.
Ответ: нет решений.

8) Уравнение $x+y=2$.
Это линейное уравнение с двумя переменными. Его можно переписать в виде $y=2-x$.
Для любого действительного значения $x$, которое мы выберем, мы можем вычислить соответствующее значение $y$. Например:
- если $x=0$, то $y=2$;
- если $x=2$, то $y=0$;
- если $x=10$, то $y=-8$.
Так как существует бесконечно много действительных чисел для выбора $x$, существует и бесконечно много пар $(x;y)$, являющихся решениями. Графиком этого уравнения является прямая линия, которая содержит бесконечное множество точек.
Ответ: бесконечно много решений.