Номер 1138, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1138, страница 216.

Условие.

1138. Найдите все пары $(x, y)$ целых чисел, являющиеся решениями уравнения $|x| + |y| = 2$ (решите уравнение в целых числах).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения уравнения $|x| + |y| = 2$ в целых числах ($x, y \in \mathbb{Z}$), необходимо учесть, что модули чисел, $|x|$ и $|y|$, являются неотрицательными целыми числами. Следовательно, мы ищем такие пары неотрицательных целых чисел $(|x|, |y|)$, сумма которых равна 2.

Существует три возможных варианта разложения числа 2 на сумму двух неотрицательных целых слагаемых: $2 = 0 + 2$, $2 = 1 + 1$ и $2 = 2 + 0$. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Случай 1: $|x| = 0$ и $|y| = 2$.Из равенства $|x| = 0$ однозначно следует, что $x = 0$. Из равенства $|y| = 2$ следует, что $y$ может быть равен $2$ или $-2$. Таким образом, мы получаем две пары решений: $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

Случай 2: $|x| = 1$ и $|y| = 1$.Из равенства $|x| = 1$ следует, что $x$ может быть равен $1$ или $-1$. Аналогично, из $|y| = 1$ следует, что $y$ может быть равен $1$ или $-1$. Комбинируя все возможные значения для $x$ и $y$, мы получаем четыре пары решений: $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Случай 3: $|x| = 2$ и $|y| = 0$.Этот случай симметричен первому. Из $|x| = 2$ следует, что $x$ может быть равен $2$ или $-2$. Из $|y| = 0$ следует, что $y = 0$. Это дает нам еще две пары решений: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Так как мы рассмотрели все возможные комбинации для $|x|$ и $|y|$, других решений в целых числах нет. Объединив все найденные пары, получаем окончательный результат.

Ответ: $(0, 2), (0, -2), (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1), (2, 0), (-2, 0)$.