Номер 1141, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1141, страница 216.

Условие.

1141. Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре начислялось 2 балла, а за задачу по геометрии – 3 балла. Максимальное количество набранных баллов могло составить 24. Сколько было предложено задач отдельно по алгебре и по геометрии, если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача? Найдите все возможные ответы.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $x$ — количество задач по алгебре, а $y$ — количество задач по геометрии.

За каждую правильно решённую задачу по алгебре начислялось 2 балла, а по геометрии — 3 балла. Максимальное количество баллов, которое можно было набрать, равно 24. Это означает, что если решить все предложенные задачи, то общая сумма баллов будет 24.

Мы можем составить уравнение: $2x + 3y = 24$

По условию задачи, было предложено хотя бы по одной задаче каждого вида, следовательно, $x$ и $y$ — это натуральные числа ($x \ge 1$ и $y \ge 1$).

Выразим $x$ через $y$ из уравнения: $2x = 24 - 3y$ $x = \frac{24 - 3y}{2}$ $x = 12 - \frac{3}{2}y$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, выражение $\frac{3}{2}y$ также должно приводить к целому результату при вычитании из 12. Это возможно только в том случае, если $y$ является чётным числом, так как 3 не делится на 2.

Также, поскольку $x \ge 1$, то $12 - \frac{3}{2}y \ge 1$. $11 \ge \frac{3}{2}y$ $22 \ge 3y$ $y \le \frac{22}{3}$ $y \le 7\frac{1}{3}$

Итак, нам нужно найти все чётные натуральные числа $y$, которые меньше или равны $7\frac{1}{3}$. Возможные значения для $y$: 2, 4, 6.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Вариант 1:
Если количество задач по геометрии $y = 2$, то количество задач по алгебре: $x = 12 - \frac{3 \cdot 2}{2} = 12 - 3 = 9$
Проверка: $2 \cdot 9 + 3 \cdot 2 = 18 + 6 = 24$. Условия $x \ge 1$ и $y \ge 1$ выполнены.
Ответ: 9 задач по алгебре и 2 задачи по геометрии.

Вариант 2:
Если количество задач по геометрии $y = 4$, то количество задач по алгебре: $x = 12 - \frac{3 \cdot 4}{2} = 12 - 6 = 6$
Проверка: $2 \cdot 6 + 3 \cdot 4 = 12 + 12 = 24$. Условия $x \ge 1$ и $y \ge 1$ выполнены.
Ответ: 6 задач по алгебре и 4 задачи по геометрии.

Вариант 3:
Если количество задач по геометрии $y = 6$, то количество задач по алгебре: $x = 12 - \frac{3 \cdot 6}{2} = 12 - 9 = 3$
Проверка: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 = 6 + 18 = 24$. Условия $x \ge 1$ и $y \ge 1$ выполнены.
Ответ: 3 задачи по алгебре и 6 задач по геометрии.