Номер 1144, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1144, страница 216.

Условие.

1144. Графиком уравнения $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$ является кривая, которую называют кардиоидой (рис. 72). Найдите координаты её точек пересечения с осями координат.

Рис. 72

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения координат точек пересечения кривой с осями координат, необходимо поочередно приравнять к нулю каждую из координат ($x$ и $y$) в уравнении кривой.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox)

Точки, лежащие на оси Ox, имеют ординату $y=0$. Подставим это значение в исходное уравнение $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$:

$(x^2 + 0^2 + 0)^2 = x^2 + 0^2$

$(x^2)^2 = x^2$

$x^4 = x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное уравнение:

$x^4 - x^2 = 0$

$x^2(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

1) $x^2 = 0 \implies x = 0$

2) $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$

Таким образом, мы нашли три точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 0)$.

Найдем точки пересечения с осью ординат (осью Oy)

Точки, лежащие на оси Oy, имеют абсциссу $x=0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$(0^2 + y^2 + y)^2 = 0^2 + y^2$

$(y^2 + y)^2 = y^2$

Это уравнение вида $A^2 = B^2$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая:

1) $y^2 + y = y$

$y^2 = 0 \implies y = 0$

2) $y^2 + y = -y$

$y^2 + 2y = 0$

$y(y + 2) = 0 \implies y = 0$ или $y = -2$

Объединив решения обоих случаев, получаем два возможных значения для ординаты: $y=0$ и $y=-2$.

Таким образом, мы нашли две точки пересечения с осью Oy: $(0, 0)$ и $(0, -2)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(0, -2)$.