Номер 1150, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1150, страница 217.

Условие.

1150. Известно, что при некоторых значениях m, n и k значение выражения $3m^2n$ равно 2, а значение выражения $n^2k^4$ равно 3. Найдите при тех же самых значениях m, n и k значение выражения:

1) $(3m^2n^2k^2)^2$;

2) $(-2m^2nk^2)^3 \cdot (0,5n^2k)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи нам даны два равенства:
1) $3m^2n = 2$
2) $n^2k^4 = 3$
Необходимо найти значения двух выражений, используя эти данные.

1) $(3m^2n^2k^2)^2$

Сначала преобразуем данное выражение, используя свойство возведения произведения в степень. Возведем каждый множитель в скобках в квадрат:
$(3m^2n^2k^2)^2 = 3^2 \cdot (m^2)^2 \cdot (n^2)^2 \cdot (k^2)^2 = 9m^4n^4k^4$.

Теперь нам нужно выразить $9m^4n^4k^4$ через известные нам выражения $3m^2n$ и $n^2k^4$. Для этого сгруппируем множители удобным образом. Заметим, что $n^4 = n^2 \cdot n^2$:
$9m^4n^4k^4 = 9m^4(n^2 \cdot n^2)k^4 = (9m^4n^2) \cdot (n^2k^4)$.

Первый множитель в полученном произведении $(9m^4n^2)$ является квадратом выражения $3m^2n$:
$(3m^2n)^2 = 3^2 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2 = 9m^4n^2$.

Таким образом, мы можем переписать наше выражение следующим образом:
$9m^4n^4k^4 = (3m^2n)^2 \cdot (n^2k^4)$.

Теперь подставим известные значения $3m^2n = 2$ и $n^2k^4 = 3$:
$(2)^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

2) $(-2m^2nk^2)^3 \cdot (0,5n^2k)^2$

Сначала упростим каждый множитель в выражении по отдельности, используя свойства степеней.
Первый множитель:
$(-2m^2nk^2)^3 = (-2)^3 \cdot (m^2)^3 \cdot n^3 \cdot (k^2)^3 = -8m^6n^3k^6$.
Второй множитель:
$(0,5n^2k)^2 = (0,5)^2 \cdot (n^2)^2 \cdot k^2 = 0,25n^4k^2$.

Теперь перемножим полученные выражения:
$(-8m^6n^3k^6) \cdot (0,25n^4k^2) = (-8 \cdot 0,25) \cdot m^6 \cdot (n^3 \cdot n^4) \cdot (k^6 \cdot k^2)$.

Выполним умножение числовых коэффициентов и сложение показателей степеней для переменных с одинаковыми основаниями:
$-2 \cdot m^6 \cdot n^{3+4} \cdot k^{6+2} = -2m^6n^7k^8$.

Теперь нам нужно выразить полученный одночлен $-2m^6n^7k^8$ через известные нам выражения $3m^2n=2$ и $n^2k^4=3$.
Для этого определим, в каких степенях нам понадобятся исходные выражения. Нам требуется $m^6$ и $k^8$.
$m^6 = (m^2)^3$, значит, нам понадобится выражение $3m^2n$ в третьей степени: $(3m^2n)^3 = 3^3 \cdot (m^2)^3 \cdot n^3 = 27m^6n^3$.
$k^8 = (k^4)^2$, значит, нам понадобится выражение $n^2k^4$ во второй степени: $(n^2k^4)^2 = (n^2)^2 \cdot (k^4)^2 = n^4k^8$.

Перемножим эти два результата:
$(3m^2n)^3 \cdot (n^2k^4)^2 = (27m^6n^3) \cdot (n^4k^8) = 27m^6n^{3+4}k^8 = 27m^6n^7k^8$.

Отсюда мы можем выразить комбинацию переменных $m^6n^7k^8$:
$m^6n^7k^8 = \frac{1}{27} (3m^2n)^3 \cdot (n^2k^4)^2$.

Подставим это в наше итоговое выражение $-2m^6n^7k^8$:
$-2m^6n^7k^8 = -2 \cdot \left( \frac{1}{27} (3m^2n)^3 \cdot (n^2k^4)^2 \right) = -\frac{2}{27} (3m^2n)^3 (n^2k^4)^2$.

Теперь подставим числовые значения $3m^2n=2$ и $n^2k^4=3$:
$-\frac{2}{27} \cdot (2)^3 \cdot (3)^2 = -\frac{2}{27} \cdot 8 \cdot 9$.

Вычислим конечный результат:
$-\frac{2 \cdot 8 \cdot 9}{27} = -\frac{16 \cdot 9}{27} = -\frac{16}{3}$.

Ответ: $-\frac{16}{3}$