Страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

В ёмкость, содержащую 150 мл восьмипроцентного раствора кислоты, добавили 90 мл воды. Чему равна концентрация кислоты в полученном растворе?

1146.В

Для того чтобы найти концентрацию кислоты в новом растворе, необходимо сначала определить объём чистой кислоты в исходном растворе, а затем разделить это значение на новый общий объём раствора.

1. Найдём объём чистой кислоты в 150 мл восьмипроцентного раствора. Концентрация 8% означает, что кислота составляет 8/100 от общего объёма.

Объём кислоты = $150 \text{ мл} \times 0.08 = 12$ мл.

2. После добавления 90 мл воды количество чистой кислоты в растворе не изменилось (осталось 12 мл), но общий объём раствора увеличился.

Новый объём раствора = $150 \text{ мл} + 90 \text{ мл} = 240$ мл.

3. Теперь найдём новую концентрацию кислоты. Для этого разделим объём кислоты на новый общий объём раствора и умножим на 100%, чтобы выразить результат в процентах.

Новая концентрация = $(\frac{\text{Объём кислоты}}{\text{Новый объём раствора}}) \times 100\% = (\frac{12 \text{ мл}}{240 \text{ мл}}) \times 100\%$.

Выполним вычисление:

$\frac{12}{240} = \frac{1}{20} = 0.05$.

Новая концентрация = $0.05 \times 100\% = 5\%$.

Ответ: концентрация кислоты в полученном растворе равна 5%.

1147. Найдите корень уравнения:

1) $\frac{4x + 1}{5} - \frac{2x - 3}{3} = x - 4;$

2) $\frac{3x - 5}{4} - \frac{5x - 2}{3} = x + 9.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{4x + 1}{5} - \frac{2x - 3}{3} = x - 4 $.

Чтобы избавиться от дробей в уравнении, умножим обе его части на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 5 и 3. НОК(5, 3) = 15.

$ 15 \cdot \left( \frac{4x + 1}{5} - \frac{2x - 3}{3} \right) = 15 \cdot (x - 4) $

Применим распределительный закон умножения:

$ \frac{15(4x + 1)}{5} - \frac{15(2x - 3)}{3} = 15x - 60 $

Сократим дроби, разделив 15 на знаменатель каждой дроби:

$ 3(4x + 1) - 5(2x - 3) = 15x - 60 $

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения. Обратите внимание на знак минус перед второй скобкой:

$ 12x + 3 - (10x - 15) = 15x - 60 $

$ 12x + 3 - 10x + 15 = 15x - 60 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (12x - 10x) + (3 + 15) = 15x - 60 $

$ 2x + 18 = 15x - 60 $

Соберем все слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $2x$ вправо, а $-60$ влево, изменив их знаки на противоположные:

$ 18 + 60 = 15x - 2x $

$ 78 = 13x $

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 13:

$ x = \frac{78}{13} $

$ x = 6 $

Ответ: 6

2) Исходное уравнение: $ \frac{3x - 5}{4} - \frac{5x - 2}{3} = x + 9 $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3. НОК(4, 3) = 12.

$ 12 \cdot \left( \frac{3x - 5}{4} - \frac{5x - 2}{3} \right) = 12 \cdot (x + 9) $

Применим распределительный закон:

$ \frac{12(3x - 5)}{4} - \frac{12(5x - 2)}{3} = 12x + 108 $

Сократим дроби:

$ 3(3x - 5) - 4(5x - 2) = 12x + 108 $

Раскроем скобки в левой части:

$ 9x - 15 - (20x - 8) = 12x + 108 $

$ 9x - 15 - 20x + 8 = 12x + 108 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (9x - 20x) + (-15 + 8) = 12x + 108 $

$ -11x - 7 = 12x + 108 $

Соберем все слагаемые с $x$ в одной части, а числа — в другой. Перенесем $-11x$ вправо, а $108$ влево, изменив их знаки:

$ -7 - 108 = 12x + 11x $

$ -115 = 23x $

Найдем $x$, разделив обе части на 23:

$ x = \frac{-115}{23} $

$ x = -5 $

Ответ: -5

1148. Из города $A$ в город $B$ одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Легковой автомобиль прибыл в город $B$ через $3,5$ ч после выезда, а грузовому осталось еще проехать $77$ км. Найдите расстояние между городами, если скорость грузового автомобиля в $1,4$ раза меньше скорости легкового.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — искомое расстояние между городами A и B (в км).

Пусть $v_г$ — скорость грузового автомобиля (в км/ч). Согласно условию, скорость легкового автомобиля $v_л$ в 1,4 раза больше, то есть $v_л = 1,4 \times v_г$.

Легковой автомобиль проехал все расстояние $S$ за время $t = 3,5$ часа. Таким образом, расстояние можно выразить через скорость легкового автомобиля:

$$S = v_л \times t = v_л \times 3,5$$

Подставим в эту формулу выражение для $v_л$ через $v_г$:

$$S = (1,4 \times v_г) \times 3,5$$

$$S = 4,9 \times v_г$$

Теперь рассмотрим движение грузового автомобиля. За то же время $t = 3,5$ часа он проехал расстояние $S_г$.

$$S_г = v_г \times t = v_г \times 3,5$$

По условию, в этот момент грузовому автомобилю оставалось проехать еще 77 км до города B. Это значит, что все расстояние $S$ равно сумме пути, который проехал грузовик, и оставшегося пути:

$$S = S_г + 77$$

Подставим выражение для $S_г$:

$$S = (v_г \times 3,5) + 77$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для $S$ и $v_г$. Приравняем правые части выражений для $S$:

$$4,9 \times v_г = 3,5 \times v_г + 77$$

Решим это уравнение относительно $v_г$:

$$4,9 \times v_г - 3,5 \times v_г = 77$$

$$1,4 \times v_г = 77$$

$$v_г = \frac{77}{1,4} = \frac{770}{14} = 55 \text{ км/ч}$$

Мы нашли скорость грузового автомобиля. Теперь, чтобы найти искомое расстояние $S$, подставим значение $v_г = 55$ в любое из ранее полученных выражений для $S$. Воспользуемся первым:

$$S = 4,9 \times v_г = 4,9 \times 55 = 269,5 \text{ км}$$

Ответ: 269,5 км.

1149. Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении $n$ значение выражения $(5n+10)^2-(2n+4)^2$ делится нацело на 84?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо проанализировать данное выражение и условие, что $n$ является натуральным чётным числом.

Сначала упростим выражение $(5n+10)^2 - (2n+4)^2$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 5n+10$ и $b = 2n+4$.

$(5n+10)^2 - (2n+4)^2 = ((5n+10) - (2n+4)) \cdot ((5n+10) + (2n+4))$

Выполним действия в каждой из скобок:

$a-b = 5n+10 - 2n - 4 = 3n+6$

$a+b = 5n+10 + 2n + 4 = 7n+14$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(3n+6)(7n+14)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$3(n+2) \cdot 7(n+2) = 21(n+2)^2$

По условию задачи, $n$ — это натуральное чётное число. Любое чётное число можно представить в виде $n=2k$, где $k$ — натуральное число ($k=1, 2, 3, ...$).

Подставим $n=2k$ в упрощенное выражение:

$21(2k+2)^2$

Вынесем общий множитель 2 из скобки:

$21 \cdot (2(k+1))^2 = 21 \cdot 2^2 \cdot (k+1)^2 = 21 \cdot 4 \cdot (k+1)^2 = 84(k+1)^2$

Полученное выражение $84(k+1)^2$ состоит из произведения числа 84 и квадрата целого числа $(k+1)^2$ (поскольку $k$ — натуральное). Такое произведение всегда делится нацело на 84.

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Да, можно утверждать, что при любом натуральном чётном значении $n$ значение выражения делится нацело на 84.

1150. Известно, что при некоторых значениях m, n и k значение выражения $3m^2n$ равно 2, а значение выражения $n^2k^4$ равно 3. Найдите при тех же самых значениях m, n и k значение выражения:

1) $(3m^2n^2k^2)^2$;

2) $(-2m^2nk^2)^3 \cdot (0,5n^2k)^2$.

По условию задачи нам даны два равенства:
1) $3m^2n = 2$
2) $n^2k^4 = 3$
Необходимо найти значения двух выражений, используя эти данные.

1) $(3m^2n^2k^2)^2$

Сначала преобразуем данное выражение, используя свойство возведения произведения в степень. Возведем каждый множитель в скобках в квадрат:
$(3m^2n^2k^2)^2 = 3^2 \cdot (m^2)^2 \cdot (n^2)^2 \cdot (k^2)^2 = 9m^4n^4k^4$.

Теперь нам нужно выразить $9m^4n^4k^4$ через известные нам выражения $3m^2n$ и $n^2k^4$. Для этого сгруппируем множители удобным образом. Заметим, что $n^4 = n^2 \cdot n^2$:
$9m^4n^4k^4 = 9m^4(n^2 \cdot n^2)k^4 = (9m^4n^2) \cdot (n^2k^4)$.

Первый множитель в полученном произведении $(9m^4n^2)$ является квадратом выражения $3m^2n$:
$(3m^2n)^2 = 3^2 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2 = 9m^4n^2$.

Таким образом, мы можем переписать наше выражение следующим образом:
$9m^4n^4k^4 = (3m^2n)^2 \cdot (n^2k^4)$.

Теперь подставим известные значения $3m^2n = 2$ и $n^2k^4 = 3$:
$(2)^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

2) $(-2m^2nk^2)^3 \cdot (0,5n^2k)^2$

Сначала упростим каждый множитель в выражении по отдельности, используя свойства степеней.
Первый множитель:
$(-2m^2nk^2)^3 = (-2)^3 \cdot (m^2)^3 \cdot n^3 \cdot (k^2)^3 = -8m^6n^3k^6$.
Второй множитель:
$(0,5n^2k)^2 = (0,5)^2 \cdot (n^2)^2 \cdot k^2 = 0,25n^4k^2$.

Теперь перемножим полученные выражения:
$(-8m^6n^3k^6) \cdot (0,25n^4k^2) = (-8 \cdot 0,25) \cdot m^6 \cdot (n^3 \cdot n^4) \cdot (k^6 \cdot k^2)$.

Выполним умножение числовых коэффициентов и сложение показателей степеней для переменных с одинаковыми основаниями:
$-2 \cdot m^6 \cdot n^{3+4} \cdot k^{6+2} = -2m^6n^7k^8$.

Теперь нам нужно выразить полученный одночлен $-2m^6n^7k^8$ через известные нам выражения $3m^2n=2$ и $n^2k^4=3$.
Для этого определим, в каких степенях нам понадобятся исходные выражения. Нам требуется $m^6$ и $k^8$.
$m^6 = (m^2)^3$, значит, нам понадобится выражение $3m^2n$ в третьей степени: $(3m^2n)^3 = 3^3 \cdot (m^2)^3 \cdot n^3 = 27m^6n^3$.
$k^8 = (k^4)^2$, значит, нам понадобится выражение $n^2k^4$ во второй степени: $(n^2k^4)^2 = (n^2)^2 \cdot (k^4)^2 = n^4k^8$.

Перемножим эти два результата:
$(3m^2n)^3 \cdot (n^2k^4)^2 = (27m^6n^3) \cdot (n^4k^8) = 27m^6n^{3+4}k^8 = 27m^6n^7k^8$.

Отсюда мы можем выразить комбинацию переменных $m^6n^7k^8$:
$m^6n^7k^8 = \frac{1}{27} (3m^2n)^3 \cdot (n^2k^4)^2$.

Подставим это в наше итоговое выражение $-2m^6n^7k^8$:
$-2m^6n^7k^8 = -2 \cdot \left( \frac{1}{27} (3m^2n)^3 \cdot (n^2k^4)^2 \right) = -\frac{2}{27} (3m^2n)^3 (n^2k^4)^2$.

Теперь подставим числовые значения $3m^2n=2$ и $n^2k^4=3$:
$-\frac{2}{27} \cdot (2)^3 \cdot (3)^2 = -\frac{2}{27} \cdot 8 \cdot 9$.

Вычислим конечный результат:
$-\frac{2 \cdot 8 \cdot 9}{27} = -\frac{16 \cdot 9}{27} = -\frac{16}{3}$.

Ответ: $-\frac{16}{3}$

1151. Сравните значения выражений $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000)^2$ и $1000^{1000}$.

Сравним два выражения: $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000)^2$ и $1000^{1000}$.

Обозначим первое выражение как $A$, а второе как $B$.

$A = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000)^2 = (1000!)^2$

$B = 1000^{1000}$

Представим выражение $A$ в виде произведения двух множителей, где второй записан в обратном порядке:

$A = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000) \cdot (1000 \cdot 999 \cdot 998 \cdot \dots \cdot 1)$

Теперь сгруппируем множители попарно, взяв по одному из каждого произведения. Получится произведение из 1000 членов:

$A = (1 \cdot 1000) \cdot (2 \cdot 999) \cdot (3 \cdot 998) \cdot \dots \cdot (k \cdot (1001-k)) \cdot \dots \cdot (1000 \cdot 1)$

Выражение $B$ также представим в виде произведения 1000 одинаковых множителей:

$B = 1000 \cdot 1000 \cdot 1000 \cdot \dots \cdot 1000$

Теперь сравним соответствующие множители в произведениях для $A$ и $B$. Общий вид множителя для $A$ — это $k \cdot (1001-k)$, а для $B$ — это $1000$. Сравним их для $k = 1, 2, \dots, 1000$.

• При $k=1$, множитель для $A$ равен $1 \cdot (1001 - 1) = 1 \cdot 1000 = 1000$. Он равен множителю для $B$.
• При $k=1000$, множитель для $A$ равен $1000 \cdot (1001 - 1000) = 1000 \cdot 1 = 1000$. Он также равен множителю для $B$.
• При $1 < k < 1000$, нам нужно сравнить $k(1001-k)$ с $1000$. Рассмотрим неравенство $k(1001-k) > 1000$.
  $1001k - k^2 > 1000$
  $0 > k^2 - 1001k + 1000$
  Для анализа знака квадратного трехчлена $k^2 - 1001k + 1000$ найдем его корни. Решая уравнение $x^2 - 1001x + 1000 = 0$, по теореме Виета находим корни $x_1=1$ и $x_2=1000$.
  Графиком функции $y=x^2 - 1001x + 1000$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть на интервале $(1, 1000)$.
  Следовательно, для любого целого $k$ от 2 до 999 выполняется неравенство $k^2 - 1001k + 1000 < 0$, что равносильно $k(1001-k) > 1000$.

Таким образом, мы сравниваем два произведения:

$A = (1 \cdot 1000) \cdot (2 \cdot 999) \cdot \dots \cdot (999 \cdot 2) \cdot (1000 \cdot 1)$

$B = 1000 \cdot 1000 \cdot \dots \cdot 1000 \cdot 1000$

Мы установили, что:

• Первый множитель в $A$ равен первому в $B$.
• Последний множитель в $A$ равен последнему в $B$.
• Все остальные 998 множителей в $A$ строго больше соответствующих множителей в $B$.

Так как все множители в обоих произведениях положительны, то произведение $A$ строго больше произведения $B$.

Ответ: $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000)^2 > 1000^{1000}$.