Страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1166. Найдите какие-нибудь три решения уравнения:

1) $6x + y = 7$;

2) $2x - 3y = -4$.

1) $6x + y = 7$

Чтобы найти решения данного уравнения, необходимо подобрать такие пары чисел $(x, y)$, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное равенство. Для удобства выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 7 - 6x$

Теперь мы можем подставлять произвольные значения $x$ и находить для них соответствующие значения $y$. Найдем три таких решения:

1. Пусть $x = 0$. Тогда $y$ будет равен:
$y = 7 - 6 \cdot 0 = 7$.
Таким образом, первая пара чисел, являющаяся решением, — это $(0, 7)$.

2. Пусть $x = 1$. Тогда $y$ будет равен:
$y = 7 - 6 \cdot 1 = 1$.
Вторая пара чисел — $(1, 1)$.

3. Пусть $x = 2$. Тогда $y$ будет равен:
$y = 7 - 6 \cdot 2 = 7 - 12 = -5$.
Третья пара чисел — $(2, -5)$.

Ответ: $(0, 7)$; $(1, 1)$; $(2, -5)$.

2) $2x - 3y = -4$

В этом уравнении также выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $x$ через $y$:
$2x = 3y - 4$
$x = \frac{3y - 4}{2}$

Чтобы значение $x$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $(3y - 4)$ был четным. Это условие будет выполняться, если $y$ является четным числом. Подберем три четных значения для $y$ и найдем соответствующие значения $x$:

1. Пусть $y = 0$. Тогда $x$ будет равен:
$x = \frac{3 \cdot 0 - 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Первое решение — $(-2, 0)$.

2. Пусть $y = 2$. Тогда $x$ будет равен:
$x = \frac{3 \cdot 2 - 4}{2} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Второе решение — $(1, 2)$.

3. Пусть $y = 4$. Тогда $x$ будет равен:
$x = \frac{3 \cdot 4 - 4}{2} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Третье решение — $(4, 4)$.

Ответ: $(-2, 0)$; $(1, 2)$; $(4, 4)$.

1167.Постройте график уравнения:

1) $x - y = 4$;

2) $4x + y = 3$;

3) $x - 5y = 5$;

4) $3x + 2y = 6$.

5) $5x - 3y = 21$;

6) $0,2x + \frac{2}{3}y = 1$.

1) Для построения графика уравнения $x - y = 4$, которое является линейным, достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этому графику. Графиком является прямая линия.

Сначала выразим переменную y через x:

$y = x - 4$

Теперь найдем две точки, подставив удобные значения x:

• При $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Получаем точку с координатами $(0, -4)$. Это точка пересечения с осью OY.
• При $y = 0$, $x - 0 = 4$, т.е. $x = 4$. Получаем точку с координатами $(4, 0)$. Это точка пересечения с осью OX.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$ и проводим через них прямую. Эта прямая является графиком уравнения $x - y = 4$.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(4, 0)$.

2) Построим график уравнения $4x + y = 3$. Это линейное уравнение, его график — прямая.

Выразим y через x для удобства нахождения точек:

$y = 3 - 4x$

Найдем координаты двух точек:

• При $x = 0$, $y = 3 - 4 \cdot 0 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• При $x = 1$, $y = 3 - 4 \cdot 1 = 3 - 4 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.

Нанеся точки $(0, 3)$ и $(1, -1)$ на систему координат и соединив их прямой, получим искомый график.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(1, -1)$.

3) Построим график уравнения $x - 5y = 5$. Графиком является прямая.

Выразим y через x:

$-5y = 5 - x$

$y = \frac{5 - x}{-5} = \frac{x - 5}{5} = \frac{1}{5}x - 1$

Найдем координаты двух точек, являющихся точками пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{5} \cdot 0 - 1 = -1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -1)$.
• При $y = 0$, $x - 5 \cdot 0 = 5$, т.е. $x = 5$. Точка пересечения с осью OX: $(5, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, -1)$ и $(5, 0)$, мы построим график данного уравнения.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(5, 0)$.

4) Построим график уравнения $3x + 2y = 6$. Это линейное уравнение, его график — прямая.

Выразим y через x:

$2y = 6 - 3x$

$y = \frac{6 - 3x}{2} = 3 - \frac{3}{2}x$

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = 3 - \frac{3}{2} \cdot 0 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• При $y = 0$, $3x + 2 \cdot 0 = 6$, т.е. $3x = 6$, $x = 2$. Получаем точку $(2, 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 0)$.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 0)$.

5) Построим график уравнения $5x - 3y = 21$. Графиком является прямая.

Выразим y через x:

$-3y = 21 - 5x$

$y = \frac{21 - 5x}{-3} = \frac{5x - 21}{3} = \frac{5}{3}x - 7$

Найдем две точки. Для удобства выберем значения x так, чтобы координаты были целыми.

• При $x = 0$, $y = \frac{5}{3} \cdot 0 - 7 = -7$. Получаем точку $(0, -7)$.
• Чтобы избежать дробей, выберем x, кратное 3. Пусть $x = 3$. Тогда $y = \frac{5}{3} \cdot 3 - 7 = 5 - 7 = -2$. Получаем точку $(3, -2)$.

График — это прямая, проходящая через точки $(0, -7)$ и $(3, -2)$.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, -7)$ и $(3, -2)$.

6) Построим график уравнения $0,2x + \frac{2}{3}y = 1$. Это также линейное уравнение.

Для упрощения уравнения избавимся от десятичной и обыкновенной дробей. Представим $0,2$ как $\frac{1}{5}$:

$\frac{1}{5}x + \frac{2}{3}y = 1$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, то есть на 15:

$15 \cdot \left(\frac{1}{5}x\right) + 15 \cdot \left(\frac{2}{3}y\right) = 15 \cdot 1$

$3x + 10y = 15$

Теперь найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $10y = 15$, откуда $y = \frac{15}{10} = 1,5$. Получаем точку $(0; 1,5)$.
• При $y = 0$, $3x = 15$, откуда $x = 5$. Получаем точку $(5, 0)$.

Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(5, 0)$.

Ответ: График уравнения — прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(5, 0)$.

1168.Постройте график уравнения:

1) $x+y=-3$;

2) $6x+y=0$;

3) $2x-3y=9$.

1) Чтобы построить график уравнения $x + y = -3$, нужно учесть, что это линейное уравнение с двумя переменными. Его графиком является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек.

Сначала выразим переменную $y$ через $x$:

$y = -x - 3$

Теперь найдем координаты двух точек. Удобно найти точки пересечения с осями координат:

1. Найдем точку пересечения с осью $OY$. Для этого примем $x = 0$:

$y = -0 - 3 = -3$

Получили точку A с координатами $(0, -3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $OX$. Для этого примем $y = 0$:

$0 = -x - 3$

$x = -3$

Получили точку B с координатами $(-3, 0)$.

Теперь нужно отметить на координатной плоскости точки A(0, -3) и B(-3, 0) и провести через них прямую. Эта прямая и будет графиком уравнения $x + y = -3$.

Ответ: График уравнения $x + y = -3$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(-3, 0)$.

2) Уравнение $6x + y = 0$ также является линейным, и его график — прямая.

Выразим $y$ через $x$:

$y = -6x$

Это уравнение прямой пропорциональности, его график всегда проходит через начало координат.

Найдем координаты двух точек для построения прямой:

1. Если $x = 0$, то:

$y = -6 \cdot 0 = 0$

Получили первую точку — начало координат O(0, 0).

2. Возьмем любое другое значение $x$, например, $x = 1$:

$y = -6 \cdot 1 = -6$

Получили вторую точку C(1, -6).

Отметив на координатной плоскости точки O(0, 0) и C(1, -6) и проведя через них прямую, мы получим график уравнения $6x + y = 0$.

Ответ: График уравнения $6x + y = 0$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, -6)$.

3) Уравнение $2x - 3y = 9$ является линейным, его график — прямая.

Выразим переменную $y$ через $x$ для удобства вычислений:

$-3y = 9 - 2x$

Разделим обе части на -3:

$y = \frac{9 - 2x}{-3} = -3 + \frac{2}{3}x$

$y = \frac{2}{3}x - 3$

Найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой:

1. Найдем точку пересечения с осью $OY$, подставив $x = 0$:

$y = \frac{2}{3} \cdot 0 - 3 = -3$

Получили точку D с координатами $(0, -3)$.

2. Чтобы избежать дробных координат, подберем такое значение $x$, которое делится на 3. Например, возьмем $x = 3$:

$y = \frac{2}{3} \cdot 3 - 3 = 2 - 3 = -1$

Получили точку E с координатами $(3, -1)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки D(0, -3) и E(3, -1) и провести через них прямую.

Ответ: График уравнения $2x - 3y = 9$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3, -1)$.

1169. Какие пары чисел являются решениями уравнения:

1) $0x + 4y = 20;$

2) $-3x + 0y = 27?$

1)

Рассмотрим уравнение $0x + 4y = 20$.

В этом уравнении коэффициент при переменной $x$ равен нулю. Произведение любого числа на ноль равно нулю, поэтому член $0x$ всегда будет равен $0$, каким бы ни было значение $x$.

Таким образом, уравнение можно упростить:

$0 + 4y = 20$

$4y = 20$

Теперь найдем значение $y$, разделив обе части уравнения на 4:

$y = \frac{20}{4}$

$y = 5$

Мы получили, что значение $y$ должно быть равно 5. При этом значение $x$ может быть любым действительным числом, так как оно не влияет на истинность равенства. Следовательно, решениями уравнения являются все пары чисел, у которых вторая координата (y) равна 5, а первая координата (x) — любое число.

Например, пары (0, 5), (-2, 5), (100, 5) и так далее являются решениями.

Ответ: решением являются все пары чисел вида $(x, 5)$, где $x$ — любое число.

2)

Рассмотрим уравнение $-3x + 0y = 27$.

В этом уравнении коэффициент при переменной $y$ равен нулю. Аналогично предыдущему пункту, член $0y$ всегда будет равен $0$ при любом значении $y$.

Упростим уравнение:

$-3x + 0 = 27$

$-3x = 27$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на -3:

$x = \frac{27}{-3}$

$x = -9$

Мы получили, что значение $x$ должно быть равно -9. При этом значение $y$ может быть любым действительным числом, так как оно не влияет на равенство. Значит, решениями уравнения являются все пары чисел, у которых первая координата (x) равна -9, а вторая координата (y) — любое число.

Например, пары (-9, 0), (-9, 1), (-9, -25.5) и так далее являются решениями.

Ответ: решением являются все пары чисел вида $(-9, y)$, где $y$ — любое число.

1170.Постройте график уравнения:

1) $4y = -8;$

2) $1,2x = 3,6.$

1)

Дано уравнение $4y = -8$.

Для построения графика необходимо сначала упростить уравнение, выразив переменную $y$. Разделим обе части уравнения на 4:

$y = \frac{-8}{4}$

$y = -2$

Уравнение $y = -2$ задает прямую. Значение ординаты (координаты $y$) для любой точки на этой прямой всегда равно -2, в то время как абсцисса (координата $x$) может быть любым действительным числом.

Это означает, что график данного уравнения — это горизонтальная прямая, проходящая через все точки с координатой $y = -2$. Например, точки с координатами $(-3, -2)$, $(0, -2)$, $(5, -2)$ лежат на этой прямой.

Геометрически, это прямая, которая параллельна оси абсцисс (оси Ox) и пересекает ось ординат (ось Oy) в точке $(0, -2)$.

Ответ: Графиком уравнения $4y = -8$ является прямая, заданная уравнением $y = -2$. Эта прямая параллельна оси Ox и проходит через точку $(0, -2)$.

2)

Дано уравнение $1,2x = 3,6$.

Аналогично первому пункту, упростим уравнение, выразив переменную $x$. Разделим обе части уравнения на 1,2:

$x = \frac{3,6}{1,2}$

Чтобы выполнить деление, можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10:

$x = \frac{36}{12}$

$x = 3$

Уравнение $x = 3$ задает прямую. Значение абсциссы (координаты $x$) для любой точки на этой прямой всегда равно 3, в то время как ордината (координата $y$) может быть любым действительным числом.

Это означает, что график данного уравнения — это вертикальная прямая, проходящая через все точки с координатой $x = 3$. Например, точки с координатами $(3, -4)$, $(3, 0)$, $(3, 1)$ лежат на этой прямой.

Геометрически, это прямая, которая параллельна оси ординат (оси Oy) и пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точке $(3, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения $1,2x = 3,6$ является прямая, заданная уравнением $x = 3$. Эта прямая параллельна оси Oy и проходит через точку $(3, 0)$.

1171. Постройте график уравнения:

1) $-0.2x = 1;$

2) $0.5y = 2.$

1) $-0,2x = 1$

Чтобы построить график данного уравнения, необходимо сначала его упростить, выразив переменную $x$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-0,2$:

$x = \frac{1}{-0,2}$

$x = -5$

Полученное уравнение $x = -5$ представляет собой прямую линию. Особенность этой прямой в том, что для любой точки, лежащей на ней, абсцисса (координата $x$) всегда равна -5, а ордината (координата $y$) может принимать абсолютно любое значение. Например, точки с координатами $(-5, 0)$, $(-5, 3)$, $(-5, -4)$ все принадлежат этой прямой.

Графиком такого уравнения является вертикальная прямая, которая проходит через точку $(-5, 0)$ на оси абсцисс и параллельна оси ординат (оси OY).

Ответ: Графиком уравнения является прямая, параллельная оси ординат (OY) и проходящая через точку с координатами (-5, 0).

2) $0,5y = 2$

Чтобы построить график этого уравнения, сначала выразим переменную $y$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $0,5$:

$y = \frac{2}{0,5}$

$y = 4$

Уравнение $y = 4$ также задает прямую линию. Для любой точки на этой прямой ордината (координата $y$) всегда равна 4, в то время как абсцисса (координата $x$) может быть любой. Например, точки с координатами $(0, 4)$, $(2, 4)$, $(-3, 4)$ все лежат на этой прямой.

Графиком такого уравнения является горизонтальная прямая, которая проходит через точку $(0, 4)$ на оси ординат и параллельна оси абсцисс (оси OX).

Ответ: Графиком уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (OX) и проходящая через точку с координатами (0, 4).

1172. В какой точке прямая $7y - 3x = 21$ пересекает:

1) ось x;

2) ось y?

Чтобы найти точки пересечения прямой с осями координат, нужно знать, что любая точка на оси $x$ имеет координату $y=0$, а любая точка на оси $y$ имеет координату $x=0$.
Нам дано уравнение прямой: $7y - 3x = 21$.

1) ось x
Чтобы найти точку пересечения с осью $x$, мы должны подставить $y=0$ в уравнение прямой и решить его относительно $x$:
$7 \cdot 0 - 3x = 21$
$0 - 3x = 21$
$-3x = 21$
Теперь разделим обе части уравнения на $-3$:
$x = \frac{21}{-3}$
$x = -7$
Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(-7; 0)$.
Ответ: $(-7; 0)$.

2) ось y
Чтобы найти точку пересечения с осью $y$, мы должны подставить $x=0$ в уравнение прямой и решить его относительно $y$:
$7y - 3 \cdot 0 = 21$
$7y - 0 = 21$
$7y = 21$
Теперь разделим обе части уравнения на $7$:
$y = \frac{21}{7}$
$y = 3$
Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0; 3)$.
Ответ: $(0; 3)$.

1173. Найдите координаты точек пересечения прямой $0.3x + 0.2y = 6$ с осями координат.

Для того чтобы найти координаты точек пересечения прямой с осями координат, необходимо поочередно подставить в уравнение прямой нулевые значения для каждой из координат.

Нахождение точки пересечения с осью абсцисс (Ox)

Точка, лежащая на оси абсцисс, имеет координату $y$, равную нулю. Подставим $y=0$ в исходное уравнение:
$0.3x + 0.2 \cdot 0 = 6$
$0.3x + 0 = 6$
$0.3x = 6$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{6}{0.3}$
$x = \frac{60}{3}$
$x = 20$
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(20, 0)$.
Ответ: $(20, 0)$.

Нахождение точки пересечения с осью ординат (Oy)

Точка, лежащая на оси ординат, имеет координату $x$, равную нулю. Подставим $x=0$ в исходное уравнение:
$0.3 \cdot 0 + 0.2y = 6$
$0 + 0.2y = 6$
$0.2y = 6$
Теперь найдем $y$:
$y = \frac{6}{0.2}$
$y = \frac{60}{2}$
$y = 30$
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 30)$.
Ответ: $(0, 30)$.

1174. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел $(-2; 1)$.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ — это $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ являются некоторыми числами (коэффициентами), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Согласно условию, пара чисел $(-2; 1)$ является решением искомого уравнения. Это значит, что при подстановке $x = -2$ и $y = 1$ в уравнение, оно должно превратиться в верное числовое равенство:

$a \cdot (-2) + b \cdot 1 = c$

$-2a + b = c$

Для того чтобы составить конкретное уравнение, мы можем задать произвольные значения для коэффициентов $a$ и $b$ (не равные нулю одновременно), а затем вычислить, чему будет равно $c$. Так как мы можем выбирать $a$ и $b$ бесконечным числом способов, существует бесконечное множество уравнений, удовлетворяющих условию.

Например, выберем самые простые значения: пусть $a = 1$ и $b = 1$.

Тогда найдем $c$:

$c = -2 \cdot (1) + 1 = -2 + 1 = -1$

Таким образом, мы получаем уравнение: $x + y = -1$.

Сделаем проверку, подставив в него пару чисел $(-2; 1)$:

$-2 + 1 = -1$

$-1 = -1$

Равенство верное, значит, уравнение составлено правильно. Можно составить и другие уравнения, например, если взять $a = 3$ и $b = 2$, то $c = -2 \cdot 3 + 2 = -4$, и уравнение будет $3x + 2y = -4$.

Ответ: $x + y = -1$

1175. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел $(3; 5)$.

Линейное уравнение с двумя переменными, например $x$ и $y$, имеет общий вид $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ — это некоторые числа, называемые коэффициентами, причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не должен быть равен нулю.

По условию задачи, пара чисел $(3; 5)$ является решением искомого уравнения. Это означает, что если в уравнение подставить $x=3$ и $y=5$, то получится верное числовое равенство.

Чтобы составить такое уравнение, мы можем самостоятельно выбрать любые удобные значения для коэффициентов $a$ и $b$ (главное, чтобы не оба одновременно были нулями), а затем вычислить, чему при таких коэффициентах будет равно $c$.

Давайте выберем простые значения, например, пусть коэффициент $a=1$ и коэффициент $b=1$. Теперь найдем значение $c$, подставив в левую часть уравнения $ax+by$ значения $x=3$ и $y=5$:
$c = a \cdot x + b \cdot y = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 5 = 3 + 5 = 8$

Таким образом, мы получили уравнение $x + y = 8$. Проверим его: подставив пару $(3; 5)$, получаем $3+5=8$, что является верным равенством.

Можно составить и другие уравнения. Например, если выбрать $a=2$ и $b=-1$, то:
$c = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 5 = 6 - 5 = 1$
Уравнение будет выглядеть как $2x - y = 1$. Проверка: $2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$. Равенство верное.

Любое такое уравнение будет правильным решением задачи.

Ответ: $x + y = 8$ (или, например, $2x - y = 1$).

1176. Найдите решение уравнения $7x + 8y = 30$, состоящее из двух равных чисел.

Дано уравнение $7x + 8y = 30$. По условию задачи, необходимо найти решение, состоящее из двух равных чисел. Это означает, что должно выполняться условие $x = y$.

Чтобы найти такое решение, подставим $y$ на $x$ в исходное уравнение: $7x + 8x = 30$

Теперь сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения: $15x = 30$

Решим полученное простое уравнение, чтобы найти значение $x$. Для этого разделим обе части уравнения на 15: $x = \frac{30}{15}$ $x = 2$

Поскольку по условию $x = y$, то значение $y$ также равно 2. Таким образом, искомое решение — это пара чисел $(2; 2)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=2$ и $y=2$ в первоначальное уравнение: $7 \cdot 2 + 8 \cdot 2 = 14 + 16 = 30$ $30 = 30$ Получено верное равенство, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(2; 2)$

1177. Найдите решение уравнения $-12x + 17y = -87$, состоящее из двух противоположных чисел.

По условию задачи, искомое решение состоит из двух противоположных чисел. Это означает, что переменные $x$ и $y$ связаны соотношением $y = -x$.

Подставим это соотношение в исходное уравнение $-12x + 17y = -87$:

$-12x + 17(-x) = -87$

Теперь решим полученное уравнение с одной переменной. Раскроем скобки:

$-12x - 17x = -87$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-29x = -87$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-29$:

$x = \frac{-87}{-29}$

$x = 3$

Теперь, зная значение $x$, найдем значение $y$ из соотношения $y = -x$:

$y = -3$

Таким образом, пара чисел $(3; -3)$ является решением уравнения, которое состоит из двух противоположных чисел.

Ответ: $(3; -3)$

1178. При каком значении $a$ пара чисел $(a; 2a)$ является решением уравнения $2x + 7y = 16$?

Чтобы пара чисел $(a; 2a)$ была решением уравнения $2x + 7y = 16$, она должна удовлетворять этому уравнению. Это означает, что при подстановке $x = a$ и $y = 2a$ в уравнение мы должны получить верное числовое равенство.

Подставим указанные значения в уравнение:

$2 \cdot (a) + 7 \cdot (2a) = 16$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Выполним умножение:

$2a + 14a = 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$16a = 16$

Разделим обе части уравнения на 16, чтобы найти значение $a$:

$a = \frac{16}{16}$

$a = 1$

Таким образом, при значении $a=1$ пара чисел $(1; 2)$ является решением исходного уравнения.

Ответ: $1$.

1179. При каком значении $a$ пара чисел $(-4; 2)$ является решением уравнения:

1) $3x + 5y = a$;

2) $ax + 5y = 18?$;

Чтобы пара чисел $(-4; 2)$ была решением уравнения, она должна удовлетворять этому уравнению. Это означает, что если мы подставим значения $x = -4$ и $y = 2$ в уравнение, мы получим верное равенство. Мы используем это, чтобы найти неизвестный параметр $a$.

1) $3x + 5y = a$

Подставим значения $x = -4$ и $y = 2$ в данное уравнение:

$3 \cdot (-4) + 5 \cdot 2 = a$

Выполним вычисления в левой части уравнения:

$-12 + 10 = a$

$-2 = a$

Следовательно, при $a = -2$ пара чисел $(-4; 2)$ является решением уравнения.

Ответ: $a = -2$.

2) $ax + 5y = 18$

Аналогично подставим значения $x = -4$ и $y = 2$ в данное уравнение:

$a \cdot (-4) + 5 \cdot 2 = 18$

Упростим полученное выражение:

$-4a + 10 = 18$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $a$. Перенесем 10 в правую часть с противоположным знаком:

$-4a = 18 - 10$

$-4a = 8$

Разделим обе части уравнения на -4, чтобы найти $a$:

$a = \frac{8}{-4}$

$a = -2$

Следовательно, при $a = -2$ пара чисел $(-4; 2)$ является решением уравнения.

Ответ: $a = -2$.

1180. При каком значении $a$ график уравнения $11x - 13y = a + 4$ проходит через начало координат?

1180.

Для того чтобы график уравнения проходил через определенную точку, координаты этой точки должны удовлетворять данному уравнению. В задаче указано, что график должен проходить через начало координат.

Начало координат — это точка $O$ с координатами $(0; 0)$. Следовательно, для этой точки $x=0$ и $y=0$.

Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в исходное уравнение $11x - 13y = a + 4$:

$11 \cdot 0 - 13 \cdot 0 = a + 4$

Выполним умножение в левой части уравнения:

$0 - 0 = a + 4$

$0 = a + 4$

Теперь найдем значение $a$, решив полученное простое линейное уравнение. Для этого перенесем 4 в левую часть с противоположным знаком:

$a = -4$

Таким образом, при значении $a = -4$ график уравнения проходит через начало координат.

Ответ: $a = -4$

1181. При каком значении $a$ через точку $A$ $(5; -3)$ проходит график уравнения:

1) $4x - 9y = a;$

2) $6x - ay = 15?$

Чтобы найти значение параметра $a$, при котором график уравнения проходит через заданную точку $A(5; -3)$, необходимо подставить координаты этой точки ($x=5$, $y=-3$) в уравнение и решить полученное равенство относительно $a$.

1) $4x - 9y = a$

Подставим координаты точки $A(5; -3)$ в уравнение:

$4 \cdot (5) - 9 \cdot (-3) = a$

Выполним вычисления:

$20 - (-27) = a$

$20 + 27 = a$

$a = 47$

Ответ: $a = 47$.

2) $6x - ay = 15$

Подставим координаты точки $A(5; -3)$ в уравнение:

$6 \cdot (5) - a \cdot (-3) = 15$

Выполним вычисления:

$30 + 3a = 15$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$3a = 15 - 30$

$3a = -15$

$a = \frac{-15}{3}$

$a = -5$

Ответ: $a = -5$.

1182. При каком значении $a$ график уравнения $ax + 4y = 0$ проходит через точку:

1) A (12; -4);

2) B (0; 2);

3) O (0; 0)?

Чтобы график уравнения проходил через заданную точку, координаты этой точки должны удовлетворять данному уравнению. Для каждого случая мы подставим координаты $x$ и $y$ соответствующей точки в уравнение $ax + 4y = 0$ и найдем значение параметра $a$.

1) A (12; –4)

Подставим координаты точки $A$, где $x = 12$ и $y = -4$, в уравнение:

$a \cdot 12 + 4 \cdot (-4) = 0$

Упростим полученное выражение:

$12a - 16 = 0$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $a$:

$12a = 16$

$a = \frac{16}{12}$

Сократим дробь:

$a = \frac{4}{3}$

Ответ: $a = \frac{4}{3}$.

2) B (0; 2)

Подставим координаты точки $B$, где $x = 0$ и $y = 2$, в уравнение:

$a \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 0$

Упростим выражение:

$0 + 8 = 0$

$8 = 0$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения $a$. Это означает, что ни при каком значении $a$ график уравнения не может пройти через точку $B(0; 2)$.

Ответ: такого значения $a$ не существует.

3) O (0; 0)

Подставим координаты точки $O$ (начало координат), где $x = 0$ и $y = 0$, в уравнение:

$a \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0$

Упростим выражение:

$0 + 0 = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения $a$. Это означает, что равенство будет выполняться при любом значении параметра $a$. Следовательно, график уравнения $ax + 4y = 0$ проходит через начало координат при любом значении $a$.

Ответ: при любом значении $a$.

1183. При каком значении b график уравнения $5x + by = 0$ проходит через точку:

1) $M(-4;-10)$;

2) $N(0;1)$;

3) $K(-2;0)$?

1) Чтобы график уравнения $5x + by = 0$ проходил через точку $M(-4; -10)$, ее координаты $x = -4$ и $y = -10$ должны удовлетворять этому уравнению. Подставим эти значения в уравнение:
$5 \cdot (-4) + b \cdot (-10) = 0$
$-20 - 10b = 0$
Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:
$-10b = 20$
$b = \frac{20}{-10}$
$b = -2$
Ответ: $b = -2$.

2) Подставим координаты точки $N(0; 1)$, то есть $x = 0$ и $y = 1$, в уравнение $5x + by = 0$:
$5 \cdot 0 + b \cdot 1 = 0$
$0 + b = 0$
$b = 0$
Ответ: $b = 0$.

3) Подставим координаты точки $K(-2; 0)$, где $x = -2$ и $y = 0$, в уравнение $5x + by = 0$:
$5 \cdot (-2) + b \cdot 0 = 0$
$-10 + 0 = 0$
$-10 = 0$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $b$. Это означает, что ни при каком значении $b$ график данного уравнения не может пройти через точку $K(-2; 0)$.
Ответ: такого значения $b$ не существует.