Страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1210.Какая из пар чисел $(3; 3)$, $(-3; 3)$, $(-3; -3)$ является решением каждого из уравнений $x^2 + y^2 = 18$ и $x + y = 0$?

Чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением для каждого из уравнений, необходимо последовательно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения: $x^2 + y^2 = 18$ и $x + y = 0$. Решением будет та пара, которая обратит оба уравнения в верные числовые равенства.

(3; 3)

Проверим пару чисел (3; 3), где $x = 3$ и $y = 3$.

1. Подставляем в первое уравнение: $3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Равенство $18 = 18$ является верным.

2. Подставляем во второе уравнение: $3 + 3 = 6$. Равенство $6 = 0$ является неверным.

Поскольку второе равенство неверно, пара (3; 3) не является решением для обоих уравнений.

(-3; 3)

Проверим пару чисел (-3; 3), где $x = -3$ и $y = 3$.

1. Подставляем в первое уравнение: $(-3)^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Равенство $18 = 18$ является верным.

2. Подставляем во второе уравнение: $-3 + 3 = 0$. Равенство $0 = 0$ является верным.

Поскольку оба равенства верны, пара (-3; 3) является решением для обоих уравнений.

(-3; -3)

Проверим пару чисел (-3; -3), где $x = -3$ и $y = -3$.

1. Подставляем в первое уравнение: $(-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18$. Равенство $18 = 18$ является верным.

2. Подставляем во второе уравнение: $-3 + (-3) = -6$. Равенство $-6 = 0$ является неверным.

Поскольку второе равенство неверно, пара (-3; -3) не является решением для обоих уравнений.

Таким образом, после проверки всех предложенных вариантов, мы установили, что только одна пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям.

Ответ: (-3; 3).

1211. На рисунке 82 изображены графики уравнений $y = x^2$ и $x - y + 2 = 0$. Пользуясь этим рисунком, найдите все пары чисел, являющиеся решениями каждого из данных уравнений.

Рис. 82

Чтобы найти пары чисел, являющиеся решениями каждого из данных уравнений, необходимо найти координаты точек пересечения их графиков. На рисунке изображены графики уравнений $y = x^2$ (парабола, синяя линия) и $x - y + 2 = 0$ (прямая, красная линия).

Найдём на рисунке точки, в которых эти два графика пересекаются.

Первая точка пересечения

Наблюдая за графиком, мы видим, что первая точка пересечения находится в левой полуплоскости. Её координаты по осям $x$ и $y$ можно определить по сетке. Абсцисса (координата $x$) этой точки равна $-1$, а ордината (координата $y$) равна $1$. Таким образом, первая пара чисел, являющаяся решением, это $(-1; 1)$.

Проверим подстановкой в оба уравнения:

• Для $y = x^2$: $1 = (-1)^2 \implies 1 = 1$ (верно).
• Для $x - y + 2 = 0$: $-1 - 1 + 2 = 0 \implies 0 = 0$ (верно).

Вторая точка пересечения

Вторая точка пересечения находится в правой полуплоскости. Её абсцисса (координата $x$) равна $2$, а ордината (координата $y$) равна $4$. Таким образом, вторая пара чисел, являющаяся решением, это $(2; 4)$.

Проверим подстановкой в оба уравнения:

• Для $y = x^2$: $4 = 2^2 \implies 4 = 4$ (верно).
• Для $x - y + 2 = 0$: $2 - 4 + 2 = 0 \implies 0 = 0$ (верно).

Следовательно, на графике видно две точки пересечения, координаты которых и являются искомыми решениями.

Ответ: $(-1; 1)$ и $(2; 4)$.

1212. Сумма 100 разных натуральных чисел равна 5051. Найдите эти числа.

Для решения этой задачи найдем минимально возможную сумму 100 различных натуральных чисел. Чтобы сумма была минимальной, нужно взять самые маленькие различные натуральные числа, то есть последовательность чисел от 1 до 100.

Сумму первых 100 натуральных чисел можно вычислить по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Где $n=100$ — количество чисел, $a_1=1$ — первое число, $a_{100}=100$ — последнее число.

$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050$

Итак, наименьшая возможная сумма 100 различных натуральных чисел равна 5050.

По условию задачи, сумма равна 5051. Найдем разницу между заданной суммой и минимальной:

$5051 - 5050 = 1$

Это означает, что наш набор чисел должен иметь сумму на 1 больше, чем базовый набор {1, 2, 3, ..., 100}. Чтобы этого достичь, нам нужно увеличить общую сумму на 1, при этом сохранив условие, что все 100 чисел — различные натуральные числа.

Мы можем добиться этого, увеличив одно из чисел в нашем базовом наборе на 1.

Однако, если мы увеличим на 1 любое число $k$ из набора {1, 2, ..., 99}, оно станет равным $k+1$. Но число $k+1$ уже есть в этом наборе, что приведет к повторению чисел. Например, если заменить 45 на 46, в наборе окажутся две 46, что противоречит условию.

Единственный вариант, при котором числа останутся различными, — это увеличить на 1 самое большое число в наборе, то есть 100.

Заменим число 100 на $100 + 1 = 101$.

Новый набор чисел будет: {1, 2, 3, ..., 99, 101}.

Этот набор удовлетворяет всем условиям:

• Он содержит 100 чисел.
• Все числа являются натуральными.
• Все числа различны (число 100 было заменено на 101, которого не было в наборе).
• Сумма этих чисел равна $5050 - 100 + 101 = 5051$.

Данное решение является единственным, так как любое другое изменение базового набора для увеличения суммы на 1 (например, увеличение одного числа на 2 и уменьшение другого на 1) нарушило бы уникальность чисел или привело бы к большему изменению суммы.

Ответ: 1, 2, 3, ..., 99, 101.