Страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1218. Решите графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + 2y = 0, \\ 5x + y = -18; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 5y = 10, \\ 4x - y = 2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - 2y = 1, \\ y - x = -2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = -1. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 0 \\ 5x + y = -18 \end{cases} $

Для решения системы графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения на одной координатной плоскости. Решением системы будет точка пересечения этих графиков. Оба уравнения являются линейными, поэтому их графики — прямые линии.

1. Построим график первого уравнения: $x + 2y = 0$.
Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:
$2y = -x$
$y = -0.5x$
Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
- Если $x = 0$, то $y = -0.5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
- Если $x = -4$, то $y = -0.5 \cdot (-4) = 2$. Получаем точку $(-4; 2)$.

2. Построим график второго уравнения: $5x + y = -18$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = -5x - 18$
Найдем координаты двух точек для этой прямой.
- Если $x = -3$, то $y = -5(-3) - 18 = 15 - 18 = -3$. Получаем точку $(-3; -3)$.
- Если $x = -4$, то $y = -5(-4) - 18 = 20 - 18 = 2$. Получаем точку $(-4; 2)$.

Построив оба графика на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в точке с координатами $(-4; 2)$.

Проверим найденное решение, подставив $x = -4$ и $y = 2$ в исходную систему:
$(-4) + 2(2) = -4 + 4 = 0$ (верно)
$5(-4) + 2 = -20 + 2 = -18$ (верно)

Ответ: $(-4; 2)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 5y = 10 \\ 4x - y = 2 \end{cases} $

Построим графики для каждого уравнения системы.

1. Построим график уравнения $2x - 5y = 10$.
Выразим $y$ через $x$:
$-5y = -2x + 10$
$y = \frac{2}{5}x - 2$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{5}(0) - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
- Если $x = 5$, то $y = \frac{2}{5}(5) - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(5; 0)$.

2. Построим график уравнения $4x - y = 2$.
Выразим $y$ через $x$:
$-y = -4x + 2$
$y = 4x - 2$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = 4(0) - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
- Если $x = 1$, то $y = 4(1) - 2 = 2$. Получаем точку $(1; 2)$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в точке $(0; -2)$. Эту точку мы получили при построении обоих графиков, что подтверждает её как точку пересечения.

Проверка:
$2(0) - 5(-2) = 0 + 10 = 10$ (верно)
$4(0) - (-2) = 0 + 2 = 2$ (верно)

Ответ: $(0; -2)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ y - x = -2 \end{cases} $

Построим графики для каждого уравнения системы.

1. Построим график уравнения $x - 2y = 1$.
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = -x + 1$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 1$, то $y = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2} = 0$. Получаем точку $(1; 0)$.
- Если $x = 3$, то $y = \frac{1}{2}(3) - \frac{1}{2} = \frac{3-1}{2} = 1$. Получаем точку $(3; 1)$.

2. Построим график уравнения $y - x = -2$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = x - 2$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(2; 0)$.
- Если $x = 3$, то $y = 3 - 2 = 1$. Получаем точку $(3; 1)$.

Построив прямые на одной координатной плоскости, находим точку их пересечения: $(3; 1)$.

Проверка:
$3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$ (верно)
$1 - 3 = -2$ (верно)

Ответ: $(3; 1)$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -1 \end{cases} $

Построим графики для каждого уравнения системы.

1. Построим график уравнения $x + y = -3$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = -x - 3$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
- Если $x = -3$, то $y = -(-3) - 3 = 0$. Получаем точку $(-3; 0)$.

2. Построим график уравнения $x - y = -1$.
Выразим $y$ через $x$:
$-y = -x - 1$
$y = x + 1$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
- Если $x = -1$, то $y = -1 + 1 = 0$. Получаем точку $(-1; 0)$.

Построив графики на координатной плоскости, определим точку их пересечения. Она имеет координаты $(-2; -1)$.

Проверка:
$(-2) + (-1) = -3$ (верно)
$(-2) - (-1) = -2 + 1 = -1$ (верно)

Ответ: $(-2; -1)$.

1219. Составьте какую-нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара значений переменных:

1) $x=3, y=2;$

2) $x=-4, y=1;$

3) $x=5, y=0.$

1) $x=3, y=2;$

Чтобы составить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел $(3; 2)$, нужно придумать два линейных уравнения вида $ax + by = c$, которые становятся верными равенствами при подстановке в них $x=3$ и $y=2$. Существует бесконечное множество таких систем. Приведем один из возможных примеров.
Для первого уравнения возьмем простейшую комбинацию — сумму переменных. Подставим значения $x$ и $y$ и найдем правую часть уравнения:
$x + y = 3 + 2 = 5$.
Получаем первое уравнение: $x + y = 5$.
Для второго уравнения возьмем другую комбинацию, например, разность переменных:
$x - y = 3 - 2 = 1$.
Получаем второе уравнение: $x - y = 1$.
Таким образом, мы составили систему, решением которой является заданная пара чисел.
Ответ: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

2) $x=-4, y=1;$

Составим систему, решением которой является пара $(x=-4, y=1)$. Аналогично предыдущему пункту, подберем коэффициенты для двух линейных уравнений.
Для первого уравнения возьмем сумму переменных:
$x + y = -4 + 1 = -3$.
Первое уравнение: $x + y = -3$.
Для второго уравнения возьмем комбинацию $2x+y$ (коэффициенты можно выбирать произвольно, главное, чтобы второе уравнение не было пропорционально первому):
$2x + y = 2(-4) + 1 = -8 + 1 = -7$.
Второе уравнение: $2x + y = -7$.
Полученная система имеет заданное решение.
Ответ: $\begin{cases} x + y = -3 \\ 2x + y = -7 \end{cases}$

3) $x=5, y=0.$

Составим систему, решением которой является пара $(x=5, y=0)$.
Для первого уравнения выберем комбинацию $x+y$:
$x + y = 5 + 0 = 5$.
Первое уравнение: $x + y = 5$.
Для второго уравнения выберем комбинацию $3x - 4y$:
$3x - 4y = 3(5) - 4(0) = 15 - 0 = 15$.
Второе уравнение: $3x - 4y = 15$.
Составленная система имеет заданное решение.
Ответ: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - 4y = 15 \end{cases}$

1220. Составьте какую-нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел $(2; -2)$.

Чтобы составить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел $(2; -2)$, нужно найти два различных линейных уравнения вида $ax+by=c$, которые становятся верными равенствами при подстановке $x=2$ и $y=-2$. Процесс заключается в том, чтобы произвольно выбрать коэффициенты $a$ и $b$, а затем вычислить соответствующее значение $c$.

Составим первое уравнение. Выберем простые коэффициенты для переменных, например, $a_1=1$ и $b_1=1$. Уравнение будет иметь вид $x+y=c_1$. Чтобы найти значение $c_1$, подставим в него заданные значения $x=2$ и $y=-2$:
$c_1 = 2 + (-2) = 0$
Таким образом, первое уравнение системы: $x+y=0$.

Составим второе уравнение. Для него нужно выбрать коэффициенты, которые не пропорциональны коэффициентам первого уравнения, чтобы система имела единственное решение. Возьмем, к примеру, $a_2=1$ и $b_2=-1$. Уравнение примет вид $x-y=c_2$. Снова подставим $x=2$ и $y=-2$ для нахождения $c_2$:
$c_2 = 2 - (-2) = 2+2=4$
Таким образом, второе уравнение системы: $x-y=4$.

Объединив полученные уравнения, мы получаем систему, решением которой является пара чисел $(2; -2)$. Можно выполнить проверку, подставив значения в оба уравнения:
$2+(-2)=0$ (верно)
$2-(-2)=4$ (верно)
Существует бесконечное множество таких систем, так как коэффициенты $a$ и $b$ можно выбирать произвольно. Приведенный пример — один из самых простых.

Ответ: $\begin{cases}x+y=0 \\x-y=4\end{cases}$

1221.Пара чисел (6; 4) является решением системы уравнений:

1) $$\begin{cases} ax + 2y = 26, \\ 4x + by = 14; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} 5x + by = 6, \\ ax + by = 0. \end{cases}$$

Найдите значения a и b.

1) По условию, пара чисел $(6; 4)$ является решением системы. Это значит, что при подстановке $x=6$ и $y=4$ в уравнения системы мы получим верные равенства. Найдем из них коэффициенты $a$ и $b$.

Подставим значения в первое уравнение $ax + 2y = 26$:
$a \cdot 6 + 2 \cdot 4 = 26$
$6a + 8 = 26$
$6a = 26 - 8$
$6a = 18$
$a = \frac{18}{6} = 3$

Подставим значения во второе уравнение $4x + by = 14$:
$4 \cdot 6 + b \cdot 4 = 14$
$24 + 4b = 14$
$4b = 14 - 24$
$4b = -10$
$b = \frac{-10}{4} = -2.5$

Ответ: $a = 3, b = -2.5$.

2) Аналогично, подставим $x=6$ и $y=4$ в уравнения второй системы.

Подставим значения в первое уравнение $5x + by = 6$, чтобы найти $b$:
$5 \cdot 6 + b \cdot 4 = 6$
$30 + 4b = 6$
$4b = 6 - 30$
$4b = -24$
$b = \frac{-24}{4} = -6$

Теперь подставим $x=6, y=4$ и найденное значение $b=-6$ во второе уравнение $ax + by = 0$, чтобы найти $a$:
$a \cdot 6 + (-6) \cdot 4 = 0$
$6a - 24 = 0$
$6a = 24$
$a = \frac{24}{6} = 4$

Ответ: $a = 4, b = -6$.

1222. При каких значениях $a$ и $b$ пара чисел $(-2; 3)$ является решением системы уравнений

$$\begin{cases} ax - 3y = -13 \\ 7x + by = 1 \end{cases}$$?

По условию, пара чисел $(-2; 3)$ является решением системы уравнений. Это значит, что если подставить значения $x = -2$ и $y = 3$ в оба уравнения, то получатся верные равенства. Используем это, чтобы найти значения $a$ и $b$.

1. Подставим значения $x = -2$ и $y = 3$ в первое уравнение системы $ax - 3y = -13$ и решим его относительно $a$:
$a \cdot (-2) - 3 \cdot 3 = -13$
$-2a - 9 = -13$
$-2a = -13 + 9$
$-2a = -4$
$a = \frac{-4}{-2}$
$a = 2$

2. Подставим значения $x = -2$ и $y = 3$ во второе уравнение системы $7x + by = 1$ и решим его относительно $b$:
$7 \cdot (-2) + b \cdot 3 = 1$
$-14 + 3b = 1$
$3b = 1 + 14$
$3b = 15$
$b = \frac{15}{3}$
$b = 5$

Таким образом, при $a=2$ и $b=5$ пара чисел $(-2; 3)$ будет являться решением данной системы.

Ответ: $a=2, b=5$.

1223.Имеет ли решение система уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x - 7y = 6, \\ 8x - 28y = 24; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x + y = -2, \\ 6x + 3y = 9; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + 2y = 0,5, \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} $?

Для того чтобы определить, имеет ли система линейных уравнений вида$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $решение, можно проанализировать соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

• Если $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $, система имеет единственное решение (графики уравнений — пересекающиеся прямые).
• Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $, система не имеет решений (графики — параллельные прямые).
• Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, система имеет бесконечно много решений (графики — совпадающие прямые).

1) Рассматриваем систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 7y = 6 \\ 8x - 28y = 24 \end{cases} $

Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $.
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-7}{-28} = \frac{1}{4} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, уравнения в системе эквивалентны (второе уравнение получается из первого умножением на 4). Это означает, что графики уравнений совпадают. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: да, система имеет бесконечно много решений.

2) Рассматриваем систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = -2 \\ 6x + 3y = 9 \end{cases} $

Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{9} $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $, графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не пересекаются. Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: нет, система не имеет решений.

3) Рассматриваем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 0,5 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} $

Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2} $.
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{0,5}{2} = \frac{1}{4} $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $, графики уравнений являются параллельными прямыми. Можно также умножить первое уравнение на 2, чтобы получить $2x + 4y = 1$. Сравнивая с вторым уравнением $2x + 4y = 2$, получаем противоречие $1 = 2$. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет, система не имеет решений.

1224. Имеет ли решение система уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 4, \\ 3x - 3y = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 1.5y = -4, \\ 3y - 2x = 8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 9x + 9y = 18, \\ x + y = 2? \end{cases}$

1) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}x - y = 4 \\3x - 3y = 6\end{cases}$

Для того чтобы определить, имеет ли система решения, можно использовать несколько методов.

Метод 1: Метод подстановки.

Выразим переменную $x$ из первого уравнения: $x = 4 + y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(4 + y) - 3y = 6$

Раскроем скобки:

$12 + 3y - 3y = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$12 = 6$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что нет такой пары чисел $(x, y)$, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям одновременно, следовательно, система не имеет решений.

Метод 2: Анализ коэффициентов.

Представим уравнения в виде $ax + by = c$.

Для первого уравнения: $a_1=1, b_1=-1, c_1=4$.

Для второго уравнения: $a_2=3, b_2=-3, c_2=6$.

Сравним отношения коэффициентов при переменных и свободных членов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, уравнения описывают две параллельные прямые, которые не пересекаются. Таким образом, система несовместна.

Ответ: нет, система не имеет решений.

2) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}x - 1,5y = -4 \\3y - 2x = 8\end{cases}$

Приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые в левой части:

$\begin{cases}x - 1,5y = -4 \\-2x + 3y = 8\end{cases}$

Умножим обе части первого уравнения на -2:

$-2(x - 1,5y) = -2(-4)$

$-2x + 3y = 8$

Полученное уравнение полностью совпадает со вторым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения являются зависимыми и описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Любая точка на этой прямой является решением системы.

Таким образом, система имеет решения.

Ответ: да, система имеет бесконечное множество решений.

3) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}9x + 9y = 18 \\x + y = 2\end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 9:

$\frac{9x + 9y}{9} = \frac{18}{9}$

$x + y = 2$

После упрощения мы видим, что первое уравнение системы стало идентично второму: $x + y = 2$.

Это означает, что, как и в предыдущем случае, оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая уравнению $x+y=2$, является решением системы.

Таким образом, система имеет решения.

Ответ: да, система имеет бесконечное множество решений.

1225. К уравнению $2x - 3y = 6$ подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение;

2) имеет бесконечно много решений;

3) не имеет решений.

Для того чтобы определить количество решений системы линейных уравнений, необходимо проанализировать коэффициенты этих уравнений. Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$

В нашем случае дано первое уравнение $2x - 3y = 6$, где $A_1=2$, $B_1=-3$, $C_1=6$. Мы ищем второе уравнение $A_2x + B_2y = C_2$, которое вместе с первым образует систему, удовлетворяющую заданным условиям.

Система уравнений имеет единственное решение, если прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны. Алгебраически это условие для коэффициентов уравнений выражается так:

$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $

Подставляя коэффициенты из нашего уравнения, получаем:

$ \frac{2}{A_2} \neq \frac{-3}{B_2} $

Нам нужно подобрать такие коэффициенты $A_2$ и $B_2$, чтобы это неравенство выполнялось. Значение $C_2$ может быть любым. Например, выберем простое уравнение, где $A_2=1$ и $B_2=1$. Проверим условие: $\frac{2}{1} \neq \frac{-3}{1}$, или $2 \neq -3$. Неравенство верно. В качестве $C_2$ можно взять любое число, например, $5$.

Таким образом, мы можем взять второе уравнение $x+y=5$.

Ответ: например, $x+y=5$.

Система имеет бесконечно много решений, если уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое ненулевое число. Алгебраически это условие выражается как пропорциональность всех коэффициентов:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $

Подставляя наши коэффициенты:

$ \frac{2}{A_2} = \frac{-3}{B_2} = \frac{6}{C_2} $

Чтобы найти подходящее второе уравнение, достаточно умножить исходное уравнение $2x - 3y = 6$ на любое число, отличное от нуля. Например, умножим его на $3$:

$ 3 \cdot (2x - 3y) = 3 \cdot 6 $

$ 6x - 9y = 18 $

Здесь $A_2=6$, $B_2=-9$, $C_2=18$. Проверим условие: $\frac{2}{6} = \frac{-3}{-9} = \frac{6}{18}$, что равносильно $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Условие выполнено.

Ответ: например, $6x - 9y = 18$.

Система не имеет решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных $x$ и $y$ пропорциональны, а свободные члены — нет. Алгебраическое условие:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Подставляя наши коэффициенты:

$ \frac{2}{A_2} = \frac{-3}{B_2} \neq \frac{6}{C_2} $

Чтобы получить такое уравнение, мы можем умножить левую часть исходного уравнения $2x - 3y = 6$ на какое-либо число (например, на 2), а правую часть оставить без изменений или изменить так, чтобы пропорция нарушилась.

Умножим левую часть на 2: $2 \cdot (2x-3y) = 4x-6y$. Теперь нам нужно подобрать $C_2$ так, чтобы $\frac{6}{C_2} \neq \frac{2}{4}$ (или $\frac{1}{2}$). Это означает, что $C_2 \neq 12$. Выберем любое другое значение, например, $C_2=10$.

Получаем второе уравнение $4x - 6y = 10$. Проверим условие: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} \neq \frac{6}{10}$, что равносильно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{3}{5}$. Условие выполнено.

Ответ: например, $4x - 6y = 10$.

1226. К уравнению $x - y = 2$ подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение;

2) имеет бесконечно много решений;

3) не имеет решений.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде: $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $
Количество решений такой системы зависит от соотношения коэффициентов. Нам дано первое уравнение $x - y = 2$, в котором $a_1=1$, $b_1=-1$ и $c_1=2$. Нам нужно подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для трех разных случаев.

1) имеет единственное решение
Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Аналитически это условие выражается как неравенство отношений коэффициентов при переменных:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
Для нашего случая, $\frac{1}{a_2} \neq \frac{-1}{b_2}$. Нам нужно подобрать такое уравнение, чтобы это условие выполнялось. Возьмем, например, уравнение $x + y = 0$. Здесь $a_2=1$, $b_2=1$. Проверим условие:
$\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{1}$, что эквивалентно $1 \neq -1$.
Это верное неравенство. Следовательно, система $ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 0 \end{cases} $ имеет единственное решение.
Ответ: Например, $x + y = 0$.

2) имеет бесконечно много решений
Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
Чтобы получить такое уравнение, достаточно умножить исходное уравнение $x - y = 2$ на любое число, отличное от нуля. Например, умножим на 2:
$2(x - y) = 2 \cdot 2$
$2x - 2y = 4$
В этом уравнении $a_2=2, b_2=-2, c_2=4$. Проверим условие:
$\frac{1}{2} = \frac{-1}{-2} = \frac{2}{4}$
Все отношения равны $\frac{1}{2}$, значит условие выполняется. Система $ \begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 4 \end{cases} $ имеет бесконечно много решений.
Ответ: Например, $2x - 2y = 4$.

3) не имеет решений
Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но это отношение не равно отношению свободных членов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
Для уравнения $x - y = 2$ подберем второе. Возьмем коэффициенты при $x$ и $y$ такими же, как в исходном уравнении ($a_2=1, b_2=-1$), но изменим свободный член, например, на 5. Получим уравнение $x - y = 5$. В этом случае $c_2=5$. Проверим условие:
$\frac{1}{1} = \frac{-1}{-1} \neq \frac{2}{5}$
$1 = 1 \neq 0,4$.
Условие выполняется. Графики уравнений $y = x - 2$ и $y = x - 5$ — это параллельные прямые, которые не пересекаются. Система $ \begin{cases} x - y = 2 \\ x - y = 5 \end{cases} $ не имеет решений.
Ответ: Например, $x - y = 5$.