Страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1248. Найдите значение выражения:

1) $m(m - 3)(m + 3) - (m - 2)(m^2 + 2m + 4)$ при $m = -\frac{2}{3}$;

2) $(6m - n)(6m + n) - (12m - 5n)(3m + n)$ при $m = -\frac{8}{9}$, $n = \frac{3}{4}$.

1) Сначала упростим данное выражение, используя формулы сокращенного умножения.

Исходное выражение: $m(m - 3)(m + 3) - (m - 2)(m^2 + 2m + 4)$.

Первая часть выражения $m(m - 3)(m + 3)$ использует формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$m((m)^2 - (3)^2) = m(m^2 - 9) = m^3 - 9m$.

Вторая часть выражения $(m - 2)(m^2 + 2m + 4)$ является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

$(m - 2)(m^2 + m \cdot 2 + 2^2) = m^3 - 2^3 = m^3 - 8$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(m^3 - 9m) - (m^3 - 8) = m^3 - 9m - m^3 + 8 = -9m + 8$.

Теперь подставим значение $m = -\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение:

$-9m + 8 = -9 \cdot (-\frac{2}{3}) + 8 = \frac{9 \cdot 2}{3} + 8 = 3 \cdot 2 + 8 = 6 + 8 = 14$.

Ответ: $14$.

2) Упростим выражение $(6m - n)(6m + n) - (12m - 5n)(3m + n)$.

Первый член $(6m - n)(6m + n)$ является разностью квадратов:

$(6m)^2 - n^2 = 36m^2 - n^2$.

Раскроем скобки во втором члене $(12m - 5n)(3m + n)$:

$12m \cdot 3m + 12m \cdot n - 5n \cdot 3m - 5n \cdot n = 36m^2 + 12mn - 15mn - 5n^2 = 36m^2 - 3mn - 5n^2$.

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(36m^2 - n^2) - (36m^2 - 3mn - 5n^2) = 36m^2 - n^2 - 36m^2 + 3mn + 5n^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(36m^2 - 36m^2) + (-n^2 + 5n^2) + 3mn = 4n^2 + 3mn$.

Теперь подставим значения $m = -\frac{8}{9}$ и $n = \frac{3}{4}$ в упрощенное выражение $4n^2 + 3mn$.

$4 \cdot (\frac{3}{4})^2 + 3 \cdot (-\frac{8}{9}) \cdot (\frac{3}{4}) = 4 \cdot \frac{9}{16} + 3 \cdot (-\frac{8}{9}) \cdot \frac{3}{4}$.

Вычислим первое слагаемое: $4 \cdot \frac{9}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$.

Вычислим второе слагаемое: $3 \cdot (-\frac{8}{9}) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 8 \cdot 3}{9 \cdot 4} = -\frac{72}{36} = -2$.

Сложим полученные значения:

$\frac{9}{4} + (-2) = \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

1249.В В школе 50% учащихся занимаются в спортивных секциях, из них 6% поют в хоре. Сколько процентов учащихся школы одновременно занимаются спортом и поют в хоре?

Для решения этой задачи нам нужно найти долю учащихся, которые одновременно занимаются спортом и поют в хоре, от общего числа всех учащихся в школе. Это задача на нахождение процента от процента.

1. Сначала выразим доли в виде десятичных дробей.
Доля учащихся, занимающихся в спортивных секциях, составляет 50% от всех учеников школы. В виде десятичной дроби это:
$50\% = \frac{50}{100} = 0.5$

2. Из этих учащихся, занимающихся спортом, 6% также поют в хоре. Это означает, что мы должны найти 6% от 50% (или 6% от 0.5). Выразим 6% в виде десятичной дроби:
$6\% = \frac{6}{100} = 0.06$

3. Теперь найдем, какую долю от общего числа учащихся составляют те, кто занимается и спортом, и хором. Для этого нужно перемножить полученные доли:
$0.5 \cdot 0.06 = 0.03$

4. Полученное число 0.03 представляет собой долю от общего числа учащихся школы. Чтобы выразить эту долю в процентах, нужно умножить ее на 100:
$0.03 \cdot 100\% = 3\%$

Таким образом, 3% всех учащихся школы одновременно занимаются в спортивных секциях и поют в хоре.

Ответ: 3%.

1250. Функция задана формулой $y = 6 - kx$. При каком значении $k$ график функции проходит через точку $A(4; -2)$?

По условию, график функции, заданной формулой $y = 6 - kx$, проходит через точку A(4; -2). Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Следовательно, если подставить в формулу функции абсциссу точки A, $x = 4$, то значение функции должно быть равно ординате точки A, $y = -2$.

Подставим значения $x = 4$ и $y = -2$ в исходное уравнение функции:
$-2 = 6 - k \cdot 4$

Мы получили линейное уравнение с одной неизвестной $k$. Решим это уравнение, чтобы найти значение $k$:
$-2 = 6 - 4k$
Перенесем слагаемое $-4k$ в левую часть уравнения, а число -2 — в правую часть, изменив их знаки на противоположные:
$4k = 6 + 2$
$4k = 8$
Теперь, чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на 4:
$k = \frac{8}{4}$
$k = 2$

Таким образом, при $k=2$ график функции проходит через заданную точку.

Ответ: 2

1251. Докажите, что значение выражения $2^{4n} - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

1251.

Требуется доказать, что значение выражения $2^{4n} - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$. Для этого можно провести доказательство несколькими способами.

Способ 1: Использование алгебраических преобразований

Преобразуем исходное выражение, используя свойство степеней $(a^m)^k = a^{mk}$:

$2^{4n} - 1 = (2^4)^n - 1$

Вычислим значение $2^4$:

$2^4 = 16$

Подставив это значение обратно, получим выражение:

$16^n - 1$

Теперь воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})$. В нашем случае $a = 16$ и $b = 1$:

$16^n - 1^n = (16 - 1)(16^{n-1} + 16^{n-2} \cdot 1 + ... + 1^{n-1})$

$16^n - 1 = 15 \cdot (16^{n-1} + 16^{n-2} + ... + 1)$

Так как $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $(16^{n-1} + 16^{n-2} + ... + 1)$ является суммой целых чисел, и, следовательно, само является целым числом.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения $15 \cdot K$, где $K$ — целое число. Поскольку один из множителей, 15, делится нацело на 5 ($15 = 5 \cdot 3$), то и всё произведение $15 \cdot K$ делится нацело на 5.

Способ 2: Анализ последней цифры числа

Рассмотрим выражение $2^{4n}$, которое мы уже преобразовали к виду $16^n$.

Проанализируем, на какую цифру оканчивается число $16^n$ при любом натуральном $n$:

$16^1 = 16$
$16^2 = 256$
$16^3 = 4096$

Можно заметить, что любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6. Таким образом, число $16^n$ всегда оканчивается на цифру 6.

Тогда разность $16^n - 1$ — это разность между числом, оканчивающимся на 6, и числом 1. Результат такой разности всегда будет числом, оканчивающимся на 5 ($6 - 1 = 5$).

Любое целое число, которое оканчивается на 5, делится нацело на 5. Следовательно, выражение $2^{4n} - 1$ делится на 5.

Оба способа доказывают истинность утверждения.

Ответ: Утверждение доказано, так как выражение $2^{4n} - 1$ можно представить в виде, делящемся на 5 (например, $15 \cdot K$, где $K$ — целое число), при любом натуральном $n$.

1252. Найдите три последние цифры значения выражения $2376^3 + 1624^3$.

Чтобы найти три последние цифры значения выражения, необходимо найти остаток от деления этого выражения на 1000. Это задача на применение свойств сравнений в модульной арифметике.

Искомое значение равно $(2376^3 + 1624^3) \pmod{1000}$.

Согласно свойствам сравнений, мы можем сначала найти остатки от деления оснований степеней на 1000, а затем выполнить операции с этими остатками.

1. Найдем остатки от деления оснований на 1000:

$2376 \div 1000 = 2$ с остатком $376$. Следовательно, $2376 \equiv 376 \pmod{1000}$.

$1624 \div 1000 = 1$ с остатком $624$. Следовательно, $1624 \equiv 624 \pmod{1000}$.

2. Теперь наша задача сводится к вычислению $(376^3 + 624^3) \pmod{1000}$.

Для упрощения вычислений воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = 376$ и $b = 624$.

3. Найдем сумму $a + b$:

$a + b = 376 + 624 = 1000$.

4. Подставим полученное значение в формулу суммы кубов:

$376^3 + 624^3 = (376 + 624)(376^2 - 376 \cdot 624 + 624^2)$

$376^3 + 624^3 = 1000 \cdot (376^2 - 376 \cdot 624 + 624^2)$

Поскольку один из множителей в произведении равен 1000, все выражение делится на 1000 нацело. Это означает, что остаток от деления на 1000 равен 0.

Таким образом, $(2376^3 + 1624^3) \pmod{1000} = 0$.

Число, которое делится на 1000 без остатка, оканчивается на три нуля.

Ответ: 000.

1253. Остаток при делении на 6 числа $a$ равен 2, а числа $b$ равен 3. Докажите, что значение произведения $ab$ кратно 6.

Согласно условию, остаток от деления числа $a$ на 6 равен 2. По определению деления с остатком, это означает, что число $a$ можно представить в виде: $a = 6k + 2$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, остаток от деления числа $b$ на 6 равен 3. Это можно записать в виде: $b = 6m + 3$, где $m$ — некоторое целое число.

Теперь найдем произведение $ab$, подставив эти выражения: $ab = (6k + 2)(6m + 3)$

Раскроем скобки, чтобы перемножить выражения: $ab = 6k \cdot 6m + 6k \cdot 3 + 2 \cdot 6m + 2 \cdot 3$ $ab = 36km + 18k + 12m + 6$

Чтобы доказать, что полученное произведение кратно 6, необходимо показать, что оно делится на 6 без остатка. Для этого вынесем общий множитель 6 за скобки из каждого слагаемого: $ab = 6(6km + 3k + 2m + 1)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, то их произведения и суммы также являются целыми числами. Следовательно, все выражение в скобках, $(6km + 3k + 2m + 1)$, является целым числом. Обозначим это целое число как $N$.

Таким образом, произведение $ab$ можно представить в виде $ab = 6N$. Это означает, что произведение $ab$ делится на 6 нацело, то есть является кратным числу 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Значение произведения $ab$ кратно 6.

1254. Найдите все целые числа x и y, при которых выполняется равенство $x + y = xy$.

Для нахождения всех целых чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих равенству $x + y = xy$, преобразуем данное уравнение. Это диофантово уравнение, и один из стандартных методов его решения — приведение к виду, удобному для разложения на множители.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$xy - x - y = 0$

Чтобы получить возможность разложить левую часть на множители, добавим к обеим частям уравнения 1. Этот прием известен как выделение полного произведения или трюк Саймона.
$xy - x - y + 1 = 1$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части и вынесем общие множители за скобки:
$x(y - 1) - 1(y - 1) = 1$
$(x - 1)(y - 1) = 1$

Поскольку по условию задачи $x$ и $y$ являются целыми числами, то и выражения $(x - 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: либо оба числа равны 1, либо оба равны -1.

Рассмотрим эти два случая.

1. Оба множителя равны 1:
$\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y - 1 = 1 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$
Таким образом, первая пара решений — $(2, 2)$.

2. Оба множителя равны -1:
$\begin{cases} x - 1 = -1 \\ y - 1 = -1 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$
Таким образом, вторая пара решений — $(0, 0)$.

Других вариантов для произведения двух целых чисел, равного 1, не существует. Следовательно, мы нашли все целочисленные решения данного уравнения.

Проверим найденные пары:
Для $(0, 0)$: $0 + 0 = 0 \times 0 \implies 0 = 0$. Равенство верно.
Для $(2, 2)$: $2 + 2 = 2 \times 2 \implies 4 = 4$. Равенство верно.

Ответ: $(0, 0)$ и $(2, 2)$.