Номер 1254, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 29. Решение систем линейных уравнений методом подстановки. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1254, страница 239.

Условие.

1254. Найдите все целые числа x и y, при которых выполняется равенство $x + y = xy$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения всех целых чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих равенству $x + y = xy$, преобразуем данное уравнение. Это диофантово уравнение, и один из стандартных методов его решения — приведение к виду, удобному для разложения на множители.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$xy - x - y = 0$

Чтобы получить возможность разложить левую часть на множители, добавим к обеим частям уравнения 1. Этот прием известен как выделение полного произведения или трюк Саймона.
$xy - x - y + 1 = 1$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части и вынесем общие множители за скобки:
$x(y - 1) - 1(y - 1) = 1$
$(x - 1)(y - 1) = 1$

Поскольку по условию задачи $x$ и $y$ являются целыми числами, то и выражения $(x - 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: либо оба числа равны 1, либо оба равны -1.

Рассмотрим эти два случая.

1. Оба множителя равны 1:
$\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y - 1 = 1 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$
Таким образом, первая пара решений — $(2, 2)$.

2. Оба множителя равны -1:
$\begin{cases} x - 1 = -1 \\ y - 1 = -1 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$
Таким образом, вторая пара решений — $(0, 0)$.

Других вариантов для произведения двух целых чисел, равного 1, не существует. Следовательно, мы нашли все целочисленные решения данного уравнения.

Проверим найденные пары:
Для $(0, 0)$: $0 + 0 = 0 \times 0 \implies 0 = 0$. Равенство верно.
Для $(2, 2)$: $2 + 2 = 2 \times 2 \implies 4 = 4$. Равенство верно.

Ответ: $(0, 0)$ и $(2, 2)$.