Номер 1258, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1258, страница 242.

Условие.

1258. На какое число надо умножить обе части первого уравнения системы, а на какое — обе части второго уравнения системы, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

1) $ \begin{cases} 2x - 6y = 7, \\ 5x + 4y = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 7x + 6y = 22, \\ 35x + 9y = 34? \end{cases} $

Решение 1.

Решение 5.

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 6y = 7, \\ 5x + 4y = 3; \end{cases} $
Коэффициенты при переменной $y$ в этой системе равны $-6$ и $4$. Чтобы сделать их противоположными числами (такими, что их сумма равна нулю), нам нужно домножить уравнения на подходящие множители.
Сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) модулей этих коэффициентов: $НОК(|-6|, 4) = НОК(6, 4) = 12$.
Теперь определим множители для каждого уравнения так, чтобы новые коэффициенты при $y$ стали, например, $-12$ и $12$.
Для первого уравнения, чтобы коэффициент $-6$ стал равен $-12$, нужно умножить обе части уравнения на число $k_1$: $ -6 \cdot k_1 = -12 \implies k_1 = \frac{-12}{-6} = 2 $.
Для второго уравнения, чтобы коэффициент $4$ стал равен $12$, нужно умножить обе части уравнения на число $k_2$: $ 4 \cdot k_2 = 12 \implies k_2 = \frac{12}{4} = 3 $.
Таким образом, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными, нужно умножить первое уравнение на 2, а второе — на 3.
После умножения система примет вид: $ \begin{cases} 2(2x - 6y) = 2 \cdot 7, \\ 3(5x + 4y) = 3 \cdot 3; \end{cases} \implies \begin{cases} 4x - 12y = 14, \\ 15x + 12y = 9. \end{cases} $
Коэффициенты при $y$ ($-12$ и $12$) являются противоположными числами.
Ответ: первое уравнение надо умножить на 2, а второе — на 3.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x + 6y = 22, \\ 35x + 9y = 34; \end{cases} $
Коэффициенты при переменной $y$ в этой системе равны $6$ и $9$.
Найдем наименьшее общее кратное этих коэффициентов: $НОК(6, 9) = 18$.
Определим множители так, чтобы новые коэффициенты при $y$ стали противоположными числами, например, $18$ и $-18$.
Для первого уравнения, чтобы коэффициент $6$ стал равен $18$, нужно умножить обе части уравнения на число $k_1$: $ 6 \cdot k_1 = 18 \implies k_1 = \frac{18}{6} = 3 $.
Для второго уравнения, чтобы коэффициент $9$ стал равен $-18$, нужно умножить обе части уравнения на число $k_2$: $ 9 \cdot k_2 = -18 \implies k_2 = \frac{-18}{9} = -2 $.
Таким образом, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными, нужно умножить первое уравнение на 3, а второе — на -2.
После умножения система примет вид: $ \begin{cases} 3(7x + 6y) = 3 \cdot 22, \\ -2(35x + 9y) = -2 \cdot 34; \end{cases} \implies \begin{cases} 21x + 18y = 66, \\ -70x - 18y = -68. \end{cases} $
Коэффициенты при $y$ ($18$ и $-18$) являются противоположными числами.
Ответ: первое уравнение надо умножить на 3, а второе — на -2.