Страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1255. Запишите уравнение, которое получим, сложив почленно левые и правые части уравнений системы:

1) $\begin{cases} 2x - y = 6, \\ 3x + y = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x - 7y = 8, \\ 6y - 4x = 1. \end{cases}$

Для системы уравнений $\begin{cases} 2x - y = 6, \\ 3x + y = 4; \end{cases}$ выполним почленное сложение левых и правых частей.
Сложим левые части: $(2x - y) + (3x + y)$.
Сложим правые части: $6 + 4$.
Приравняем результаты и получим новое уравнение:
$(2x - y) + (3x + y) = 6 + 4$
Теперь упростим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$2x - y + 3x + y = 10$
$(2x + 3x) + (-y + y) = 10$
$5x = 10$
Ответ: $5x = 10$.

Для системы уравнений $\begin{cases} 4x - 7y = 8, \\ 6y - 4x = 1. \end{cases}$ выполним почленное сложение левых и правых частей.
Сложим левые части: $(4x - 7y) + (6y - 4x)$.
Сложим правые части: $8 + 1$.
Приравняем результаты и получим новое уравнение:
$(4x - 7y) + (6y - 4x) = 8 + 1$
Теперь упростим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$4x - 7y + 6y - 4x = 9$
$(4x - 4x) + (-7y + 6y) = 9$
$-y = 9$
Ответ: $-y = 9$.

1256. На какое число надо умножить обе части первого уравнения системы, чтобы в уравнениях коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

1) $\begin{cases} 4x + y = 7, \\ 5x - 6y = 30; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 4y = 9, \\ 3x + 20y = 40? \end{cases}$

1) Для системы уравнений:
$ \begin{cases} 4x + y = 7, \\ 5x - 6y = 30. \end{cases} $
Коэффициент при переменной $y$ в первом уравнении равен 1, а во втором уравнении — -6.
Противоположные числа — это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки. Противоположным для числа -6 является число 6.
Чтобы коэффициент при $y$ в первом уравнении стал равен 6, нужно найти такое число $k$, на которое надо умножить текущий коэффициент (1), чтобы получить 6.
$1 \cdot k = 6$
$k = 6$
Таким образом, обе части первого уравнения нужно умножить на 6. Проверим:
$6 \cdot (4x + y) = 6 \cdot 7$
$24x + 6y = 42$
Новая система:
$ \begin{cases} 24x + 6y = 42, \\ 5x - 6y = 30. \end{cases} $
Коэффициенты при $y$ (6 и -6) стали противоположными числами.
Ответ: на 6.

2) Для системы уравнений:
$ \begin{cases} 2x + 4y = 9, \\ 3x + 20y = 40. \end{cases} $
Коэффициент при переменной $y$ в первом уравнении равен 4, а во втором уравнении — 20.
Противоположным для числа 20 является число -20.
Чтобы коэффициент при $y$ в первом уравнении стал равен -20, нужно найти такое число $k$, на которое надо умножить текущий коэффициент (4), чтобы получить -20.
$4 \cdot k = -20$
$k = \frac{-20}{4}$
$k = -5$
Таким образом, обе части первого уравнения нужно умножить на -5. Проверим:
$-5 \cdot (2x + 4y) = -5 \cdot 9$
$-10x - 20y = -45$
Новая система:
$ \begin{cases} -10x - 20y = -45, \\ 3x + 20y = 40. \end{cases} $
Коэффициенты при $y$ (-20 и 20) стали противоположными числами.
Ответ: на -5.

1257.На какое число надо умножить обе части первого уравнения системы, чтобы в уравнениях коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:

1) $\begin{cases} 3x + 7y = 21, \\ 3x - 9y = -2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7x + 3y = 8, \\ 28x - 5y = 12? \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 7y = 21 \\ 3x - 9y = -2 \end{cases} $

Коэффициент при переменной $x$ в первом уравнении равен $3$. Коэффициент при переменной $x$ во втором уравнении также равен $3$.

Чтобы коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях стали противоположными числами, нам нужно, чтобы коэффициент при $x$ в первом уравнении стал равен $-3$ (противоположное число для $3$).

Пусть $k$ — это число, на которое мы умножим первое уравнение. Тогда новый коэффициент при $x$ в первом уравнении будет равен $3k$. Нам нужно, чтобы выполнялось равенство:

$3k = -3$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $3$:

$k = \frac{-3}{3}$

$k = -1$

Таким образом, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными, нужно умножить обе части первого уравнения на $-1$.

Ответ: $-1$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 3y = 8 \\ 28x - 5y = 12 \end{cases} $

Коэффициент при переменной $x$ в первом уравнении равен $7$. Коэффициент при переменной $x$ во втором уравнении равен $28$.

Чтобы коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях стали противоположными числами, нам нужно, чтобы коэффициент при $x$ в первом уравнении стал равен $-28$ (противоположное число для $28$).

Пусть $k$ — это число, на которое мы умножим первое уравнение. Тогда новый коэффициент при $x$ в первом уравнении будет равен $7k$. Нам нужно, чтобы выполнялось равенство:

$7k = -28$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $7$:

$k = \frac{-28}{7}$

$k = -4$

Таким образом, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными, нужно умножить обе части первого уравнения на $-4$.

Ответ: $-4$.

1258. На какое число надо умножить обе части первого уравнения системы, а на какое — обе части второго уравнения системы, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

1) $ \begin{cases} 2x - 6y = 7, \\ 5x + 4y = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 7x + 6y = 22, \\ 35x + 9y = 34? \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 6y = 7, \\ 5x + 4y = 3; \end{cases} $
Коэффициенты при переменной $y$ в этой системе равны $-6$ и $4$. Чтобы сделать их противоположными числами (такими, что их сумма равна нулю), нам нужно домножить уравнения на подходящие множители.
Сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) модулей этих коэффициентов: $НОК(|-6|, 4) = НОК(6, 4) = 12$.
Теперь определим множители для каждого уравнения так, чтобы новые коэффициенты при $y$ стали, например, $-12$ и $12$.
Для первого уравнения, чтобы коэффициент $-6$ стал равен $-12$, нужно умножить обе части уравнения на число $k_1$: $ -6 \cdot k_1 = -12 \implies k_1 = \frac{-12}{-6} = 2 $.
Для второго уравнения, чтобы коэффициент $4$ стал равен $12$, нужно умножить обе части уравнения на число $k_2$: $ 4 \cdot k_2 = 12 \implies k_2 = \frac{12}{4} = 3 $.
Таким образом, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными, нужно умножить первое уравнение на 2, а второе — на 3.
После умножения система примет вид: $ \begin{cases} 2(2x - 6y) = 2 \cdot 7, \\ 3(5x + 4y) = 3 \cdot 3; \end{cases} \implies \begin{cases} 4x - 12y = 14, \\ 15x + 12y = 9. \end{cases} $
Коэффициенты при $y$ ($-12$ и $12$) являются противоположными числами.
Ответ: первое уравнение надо умножить на 2, а второе — на 3.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x + 6y = 22, \\ 35x + 9y = 34; \end{cases} $
Коэффициенты при переменной $y$ в этой системе равны $6$ и $9$.
Найдем наименьшее общее кратное этих коэффициентов: $НОК(6, 9) = 18$.
Определим множители так, чтобы новые коэффициенты при $y$ стали противоположными числами, например, $18$ и $-18$.
Для первого уравнения, чтобы коэффициент $6$ стал равен $18$, нужно умножить обе части уравнения на число $k_1$: $ 6 \cdot k_1 = 18 \implies k_1 = \frac{18}{6} = 3 $.
Для второго уравнения, чтобы коэффициент $9$ стал равен $-18$, нужно умножить обе части уравнения на число $k_2$: $ 9 \cdot k_2 = -18 \implies k_2 = \frac{-18}{9} = -2 $.
Таким образом, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными, нужно умножить первое уравнение на 3, а второе — на -2.
После умножения система примет вид: $ \begin{cases} 3(7x + 6y) = 3 \cdot 22, \\ -2(35x + 9y) = -2 \cdot 34; \end{cases} \implies \begin{cases} 21x + 18y = 66, \\ -70x - 18y = -68. \end{cases} $
Коэффициенты при $y$ ($18$ и $-18$) являются противоположными числами.
Ответ: первое уравнение надо умножить на 3, а второе — на -2.

1259. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $ \begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 8 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x + y = 14 \\ 5x - y = 10 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 2x - 9y = 11 \\ 7x + 9y = 25 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} -6x + y = 16 \\ 6x + 4y = 34 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 8x + y = 8 \\ 12x + y = 4 \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 7x - 5y = 29 \\ 7x + 8y = -10 \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ x - y = 8; \end{cases} $

Сложим почленно первое и второе уравнения системы, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($1$ и $-1$).

$(x + y) + (x - y) = 6 + 8$

$2x = 14$

$x = \frac{14}{2}$

$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$7 + y = 6$

$y = 6 - 7$

$y = -1$

Проверим решение, подставив значения $x$ и $y$ во второе уравнение:

$7 - (-1) = 8$

$7 + 1 = 8$

$8 = 8$

Решение верное.

Ответ: $(7; -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 14, \\ 5x - y = 10; \end{cases} $

Сложим почленно уравнения, так как коэффициенты при $y$ противоположны ($1$ и $-1$).

$(3x + y) + (5x - y) = 14 + 10$

$8x = 24$

$x = \frac{24}{8}$

$x = 3$

Подставим значение $x = 3$ в первое уравнение:

$3(3) + y = 14$

$9 + y = 14$

$y = 14 - 9$

$y = 5$

Проверим решение, подставив значения во второе уравнение:

$5(3) - 5 = 10$

$15 - 5 = 10$

$10 = 10$

Решение верное.

Ответ: $(3; 5)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 9y = 11, \\ 7x + 9y = 25; \end{cases} $

Сложим почленно уравнения, так как коэффициенты при $y$ противоположны ($-9$ и $9$).

$(2x - 9y) + (7x + 9y) = 11 + 25$

$9x = 36$

$x = \frac{36}{9}$

$x = 4$

Подставим значение $x = 4$ во второе уравнение:

$7(4) + 9y = 25$

$28 + 9y = 25$

$9y = 25 - 28$

$9y = -3$

$y = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$

Проверим решение, подставив значения в первое уравнение:

$2(4) - 9(-\frac{1}{3}) = 11$

$8 + 3 = 11$

$11 = 11$

Решение верное.

Ответ: $(4; -1/3)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} -6x + y = 16, \\ 6x + 4y = 34; \end{cases} $

Сложим почленно уравнения, так как коэффициенты при $x$ противоположны ($-6$ и $6$).

$(-6x + y) + (6x + 4y) = 16 + 34$

$5y = 50$

$y = \frac{50}{5}$

$y = 10$

Подставим значение $y = 10$ в первое уравнение:

$-6x + 10 = 16$

$-6x = 16 - 10$

$-6x = 6$

$x = \frac{6}{-6}$

$x = -1$

Проверим решение, подставив значения во второе уравнение:

$6(-1) + 4(10) = 34$

$-6 + 40 = 34$

$34 = 34$

Решение верное.

Ответ: $(-1; 10)$.

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 8x + y = 8, \\ 12x + y = 4; \end{cases} $

Коэффициенты при $y$ одинаковы. Чтобы их сделать противоположными, умножим первое уравнение на $-1$:

$-1 \cdot (8x + y) = -1 \cdot 8 \implies -8x - y = -8$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-8x - y) + (12x + y) = -8 + 4$

$4x = -4$

$x = -1$

Подставим значение $x = -1$ в первое исходное уравнение:

$8(-1) + y = 8$

$-8 + y = 8$

$y = 8 + 8$

$y = 16$

Проверим решение, подставив значения во второе исходное уравнение:

$12(-1) + 16 = 4$

$-12 + 16 = 4$

$4 = 4$

Решение верное.

Ответ: $(-1; 16)$.

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 5y = 29, \\ 7x + 8y = -10; \end{cases} $

Коэффициенты при $x$ одинаковы. Вычтем из второго уравнения первое, что равносильно умножению первого уравнения на $-1$ и сложению со вторым.

$(7x + 8y) - (7x - 5y) = -10 - 29$

$7x + 8y - 7x + 5y = -39$

$13y = -39$

$y = \frac{-39}{13}$

$y = -3$

Подставим значение $y = -3$ в первое уравнение:

$7x - 5(-3) = 29$

$7x + 15 = 29$

$7x = 29 - 15$

$7x = 14$

$x = \frac{14}{7}$

$x = 2$

Проверим решение, подставив значения во второе уравнение:

$7(2) + 8(-3) = -10$

$14 - 24 = -10$

$-10 = -10$

Решение верное.

Ответ: $(2; -3)$.