Страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1241. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} y = 3x - 1, \\ 2x + y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x = 2y - 8, \\ x - 4y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x = 6y, \\ x + 5y = 88; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x + y = 10, \\ 4x - 7y = 2; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 5y - x = 8, \\ 5x - 4y = 23; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 3x + 4y = 0, \\ 2x - 5y = 46; \end{cases}$

7) $\begin{cases} 15 - x = 2y, \\ 4x - 3y = 27; \end{cases}$

8) $\begin{cases} 5x - y = 6,2, \\ 0,8x + 3y = 13. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений методом подстановки:
$\begin{cases} y = 3x - 1 \\ 2x + y = 9\end{cases}$
В первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим это выражение $(3x - 1)$ во второе уравнение вместо $y$:
$2x + (3x - 1) = 9$
Решим полученное уравнение:
$5x - 1 = 9$
$5x = 10$
$x = \frac{10}{5} = 2$
Теперь найдем $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение:
$y = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$
Ответ: $(2; 5)$.

2) Решим систему уравнений методом подстановки:
$\begin{cases} x = 2y - 8 \\ x - 4y = 4\end{cases}$
Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$(2y - 8) - 4y = 4$
Решим полученное уравнение:
$-2y - 8 = 4$
$-2y = 12$
$y = \frac{12}{-2} = -6$
Теперь найдем $x$, подставив $y=-6$ в первое уравнение:
$x = 2 \cdot (-6) - 8 = -12 - 8 = -20$
Ответ: $(-20; -6)$.

3) Решим систему уравнений методом подстановки:
$\begin{cases} x = 6y \\ x + 5y = 88\end{cases}$
Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$6y + 5y = 88$
$11y = 88$
$y = \frac{88}{11} = 8$
Теперь найдем $x$, подставив $y=8$ в первое уравнение:
$x = 6 \cdot 8 = 48$
Ответ: $(48; 8)$.

4) Решим систему уравнений методом подстановки:
$\begin{cases} 2x + y = 10 \\ 4x - 7y = 2\end{cases}$
Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 10 - 2x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4x - 7(10 - 2x) = 2$
$4x - 70 + 14x = 2$
$18x = 72$
$x = \frac{72}{18} = 4$
Теперь найдем $y$, подставив $x=4$ в выражение $y = 10 - 2x$:
$y = 10 - 2 \cdot 4 = 10 - 8 = 2$
Ответ: $(4; 2)$.

5) Решим систему уравнений методом подстановки:
$\begin{cases} 5y - x = 8 \\ 5x - 4y = 23\end{cases}$
Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 5y - 8$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(5y - 8) - 4y = 23$
$25y - 40 - 4y = 23$
$21y = 63$
$y = \frac{63}{21} = 3$
Теперь найдем $x$, подставив $y=3$ в выражение $x = 5y - 8$:
$x = 5 \cdot 3 - 8 = 15 - 8 = 7$
Ответ: $(7; 3)$.

6) Решим систему уравнений методом сложения (вычитания):
$\begin{cases} 3x + 4y = 0 \\ 2x - 5y = 46\end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали равными:
$\begin{cases} 6x + 8y = 0 \\ 6x - 15y = 138\end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе:
$(6x + 8y) - (6x - 15y) = 0 - 138$
$23y = -138$
$y = \frac{-138}{23} = -6$
Подставим $y=-6$ в первое исходное уравнение:
$3x + 4(-6) = 0$
$3x - 24 = 0$
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3} = 8$
Ответ: $(8; -6)$.

7) Решим систему уравнений методом подстановки:
$\begin{cases} 15 - x = 2y \\ 4x - 3y = 27\end{cases}$
Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 15 - 2y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4(15 - 2y) - 3y = 27$
$60 - 8y - 3y = 27$
$60 - 11y = 27$
$-11y = 27 - 60$
$-11y = -33$
$y = \frac{-33}{-11} = 3$
Найдем $x$, подставив $y=3$ в выражение $x = 15 - 2y$:
$x = 15 - 2 \cdot 3 = 15 - 6 = 9$
Ответ: $(9; 3)$.

8) Решим систему уравнений методом подстановки:
$\begin{cases} 5x - y = 6,2 \\ 0,8x + 3y = 13\end{cases}$
Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 5x - 6,2$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$0,8x + 3(5x - 6,2) = 13$
$0,8x + 15x - 18,6 = 13$
$15,8x = 13 + 18,6$
$15,8x = 31,6$
$x = \frac{31,6}{15,8} = 2$
Найдем $y$, подставив $x=2$ в выражение $y = 5x - 6,2$:
$y = 5 \cdot 2 - 6,2 = 10 - 6,2 = 3,8$
Ответ: $(2; 3,8)$.

1242. Найдите решение системы уравнений:

1) $\begin{cases} 4x + y = 12, \\ 7x + 2y = 20; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 8y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4y - x = 11, \\ 5x - 2y = 17; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 6x - y = -1, \\ 2x - 3y = -11; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x + y = 7, \\ 9y - 2x = -25; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 5x - 3y = 0, \\ 15x + 2y = 55. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x + y = 12, \\ 7x + 2y = 20; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 12 - 4x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$7x + 2(12 - 4x) = 20$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$7x + 24 - 8x = 20$

$-x = 20 - 24$

$-x = -4$

$x = 4$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 4$ в выражение для $y$:

$y = 12 - 4(4) = 12 - 16 = -4$

Таким образом, решение системы: $x = 4$, $y = -4$.

Ответ: $(4; -4)$

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 8y = 1; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 5 + 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$3(5 + 2y) + 8y = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$15 + 6y + 8y = 1$

$14y = 1 - 15$

$14y = -14$

$y = -1$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = -1$ в выражение для $x$:

$x = 5 + 2(-1) = 5 - 2 = 3$

Таким образом, решение системы: $x = 3$, $y = -1$.

Ответ: $(3; -1)$

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4y - x = 11, \\ 5x - 2y = 17; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$-x = 11 - 4y$

$x = 4y - 11$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$5(4y - 11) - 2y = 17$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$20y - 55 - 2y = 17$

$18y = 17 + 55$

$18y = 72$

$y = 4$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 4$ в выражение для $x$:

$x = 4(4) - 11 = 16 - 11 = 5$

Таким образом, решение системы: $x = 5$, $y = 4$.

Ответ: $(5; 4)$

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 6x - y = -1, \\ 2x - 3y = -11; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$-y = -1 - 6x$

$y = 6x + 1$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$2x - 3(6x + 1) = -11$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$2x - 18x - 3 = -11$

$-16x = -11 + 3$

$-16x = -8$

$x = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = \frac{1}{2}$ в выражение для $y$:

$y = 6\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 3 + 1 = 4$

Таким образом, решение системы: $x = \frac{1}{2}$, $y = 4$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; 4)$

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 7, \\ 9y - 2x = -25; \end{cases}$

Для удобства перепишем второе уравнение в стандартном виде:

$\begin{cases} x + y = 7, \\ -2x + 9y = -25; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 7 - y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$-2(7 - y) + 9y = -25$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$-14 + 2y + 9y = -25$

$11y = -25 + 14$

$11y = -11$

$y = -1$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = -1$ в выражение для $x$:

$x = 7 - (-1) = 7 + 1 = 8$

Таким образом, решение системы: $x = 8$, $y = -1$.

Ответ: $(8; -1)$

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 3y = 0, \\ 15x + 2y = 55. \end{cases}$

Решим систему методом сложения (исключения). Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами:

$-3(5x - 3y) = -3(0) \implies -15x + 9y = 0$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} -15x + 9y = 0, \\ 15x + 2y = 55. \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы:

$(-15x + 9y) + (15x + 2y) = 0 + 55$

$11y = 55$

$y = 5$

Теперь подставим найденное значение $y=5$ в первое исходное уравнение ($5x - 3y = 0$) и найдем $x$:

$5x - 3(5) = 0$

$5x - 15 = 0$

$5x = 15$

$x = 3$

Таким образом, решение системы: $x = 3$, $y = 5$.

Ответ: $(3; 5)$

1243. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 4x - 3y = 15, \\ 3x - 4y = 6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 3y = 2, \\ 5x + 2y = 24; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 5y - 6x = 4, \\ 7x - 4y = -1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 4x + 5y = 1, \\ 8x - 2y = 38; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 5a - 4b = 3, \\ 2a - 3b = 11; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 8m - 2n = 11, \\ 9m + 4n = 8. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4x - 3y = 15 \\ 3x - 4y = 6 \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$$ \begin{cases} 3(4x - 3y) = 3 \cdot 15 \\ -4(3x - 4y) = -4 \cdot 6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 12x - 9y = 45 \\ -12x + 16y = -24 \end{cases} $$

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы:

$(12x - 9y) + (-12x + 16y) = 45 + (-24)$

$7y = 21$

$y = \frac{21}{7}$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y = 3$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$4x - 3 \cdot 3 = 15$

$4x - 9 = 15$

$4x = 15 + 9$

$4x = 24$

$x = \frac{24}{4}$

$x = 6$

Проверка. Подставим найденные значения $x=6$ и $y=3$ во второе исходное уравнение:

$3 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$. Равенство $6 = 6$ верно.

Ответ: $(6; 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 2 \\ 5x + 2y = 24 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными.

$$ \begin{cases} 2(2x - 3y) = 2 \cdot 2 \\ 3(5x + 2y) = 3 \cdot 24 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 4x - 6y = 4 \\ 15x + 6y = 72 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(4x - 6y) + (15x + 6y) = 4 + 72$

$19x = 76$

$x = \frac{76}{19}$

$x = 4$

Подставим $x = 4$ во второе исходное уравнение:

$5 \cdot 4 + 2y = 24$

$20 + 2y = 24$

$2y = 24 - 20$

$2y = 4$

$y = 2$

Проверка. Подставим $x=4$ и $y=2$ в первое исходное уравнение:

$2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 8 - 6 = 2$. Равенство $2 = 2$ верно.

Ответ: $(4; 2)$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5y - 6x = 4 \\ 7x - 4y = -1 \end{cases} $$

Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:

$$ \begin{cases} -6x + 5y = 4 \\ 7x - 4y = -1 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5.

$$ \begin{cases} 4(-6x + 5y) = 4 \cdot 4 \\ 5(7x - 4y) = 5 \cdot (-1) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} -24x + 20y = 16 \\ 35x - 20y = -5 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(-24x + 20y) + (35x - 20y) = 16 - 5$

$11x = 11$

$x = 1$

Подставим $x = 1$ в уравнение $7x - 4y = -1$:

$7 \cdot 1 - 4y = -1$

$7 - 4y = -1$

$-4y = -1 - 7$

$-4y = -8$

$y = 2$

Проверка. Подставим $x=1$ и $y=2$ в уравнение $5y - 6x = 4$:

$5 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 10 - 6 = 4$. Равенство $4 = 4$ верно.

Ответ: $(1; 2)$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4x + 5y = 1 \\ 8x - 2y = 38 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$4x - y = 19$

Получим новую систему:

$$ \begin{cases} 4x + 5y = 1 \\ 4x - y = 19 \end{cases} $$

Решим систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:

$(4x + 5y) - (4x - y) = 1 - 19$

$4x + 5y - 4x + y = -18$

$6y = -18$

$y = -3$

Подставим $y = -3$ в упрощенное второе уравнение $4x - y = 19$:

$4x - (-3) = 19$

$4x + 3 = 19$

$4x = 16$

$x = 4$

Проверка. Подставим $x=4$ и $y=-3$ в первое исходное уравнение:

$4 \cdot 4 + 5 \cdot (-3) = 16 - 15 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Ответ: $(4; -3)$.

5)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5a - 4b = 3 \\ 2a - 3b = 11 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5.

$$ \begin{cases} 2(5a - 4b) = 2 \cdot 3 \\ -5(2a - 3b) = -5 \cdot 11 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 10a - 8b = 6 \\ -10a + 15b = -55 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(10a - 8b) + (-10a + 15b) = 6 - 55$

$7b = -49$

$b = -7$

Подставим $b = -7$ в первое исходное уравнение:

$5a - 4(-7) = 3$

$5a + 28 = 3$

$5a = 3 - 28$

$5a = -25$

$a = -5$

Проверка. Подставим $a=-5$ и $b=-7$ во второе исходное уравнение:

$2 \cdot (-5) - 3 \cdot (-7) = -10 + 21 = 11$. Равенство $11 = 11$ верно.

Ответ: $(-5; -7)$.

6)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 8m - 2n = 11 \\ 9m + 4n = 8 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2.

$$ \begin{cases} 2(8m - 2n) = 2 \cdot 11 \\ 9m + 4n = 8 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 16m - 4n = 22 \\ 9m + 4n = 8 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(16m - 4n) + (9m + 4n) = 22 + 8$

$25m = 30$

$m = \frac{30}{25} = \frac{6}{5}$

Подставим $m = \frac{6}{5}$ в первое исходное уравнение:

$8 \cdot \frac{6}{5} - 2n = 11$

$\frac{48}{5} - 2n = 11$

Перенесем слагаемые:

$-2n = 11 - \frac{48}{5}$

$-2n = \frac{55}{5} - \frac{48}{5}$

$-2n = \frac{7}{5}$

$n = \frac{7}{5} \div (-2) = -\frac{7}{10}$

Проверка. Подставим $m=\frac{6}{5}$ и $n=-\frac{7}{10}$ во второе исходное уравнение:

$9 \cdot \frac{6}{5} + 4 \cdot (-\frac{7}{10}) = \frac{54}{5} - \frac{28}{10} = \frac{108}{10} - \frac{28}{10} = \frac{80}{10} = 8$. Равенство $8 = 8$ верно.

Ответ: $(\frac{6}{5}; -\frac{7}{10})$.

1244. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 5x + 2y = 15, \\ 8x + 3y = 20; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 8p - 5q = -11, \\ 5p - 4q = -6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7x + 4y = 5, \\ 3x + 2y = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 6u - 5v = -38, \\ 2u + 7v = 22. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 15, \\ 8x + 3y = 20. \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную y, умножим первое уравнение на 3, а второе на -2.

$ \begin{cases} 3 \cdot (5x + 2y) = 3 \cdot 15, \\ -2 \cdot (8x + 3y) = -2 \cdot 20; \end{cases} $

Получим эквивалентную систему:

$ \begin{cases} 15x + 6y = 45, \\ -16x - 6y = -40. \end{cases} $

Теперь сложим почленно уравнения системы:

$(15x + 6y) + (-16x - 6y) = 45 + (-40)$

$15x - 16x = 5$

$-x = 5$

$x = -5$

Подставим найденное значение $x = -5$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти y:

$5(-5) + 2y = 15$

$-25 + 2y = 15$

$2y = 15 + 25$

$2y = 40$

$y = 20$

Таким образом, решение системы: $(-5; 20)$.

Ответ: $x = -5, y = 20$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 4y = 5, \\ 3x + 2y = 3. \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными.

$ \begin{cases} 7x + 4y = 5, \\ -2 \cdot (3x + 2y) = -2 \cdot 3; \end{cases} $

$ \begin{cases} 7x + 4y = 5, \\ -6x - 4y = -6. \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(7x + 4y) + (-6x - 4y) = 5 + (-6)$

$7x - 6x = -1$

$x = -1$

Подставим значение $x = -1$ во второе уравнение исходной системы:

$3(-1) + 2y = 3$

$-3 + 2y = 3$

$2y = 3 + 3$

$2y = 6$

$y = 3$

Решение системы: $(-1; 3)$.

Ответ: $x = -1, y = 3$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 8p - 5q = -11, \\ 5p - 4q = -6. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Для исключения переменной q, умножим первое уравнение на 4, а второе на -5.

$ \begin{cases} 4 \cdot (8p - 5q) = 4 \cdot (-11), \\ -5 \cdot (5p - 4q) = -5 \cdot (-6); \end{cases} $

$ \begin{cases} 32p - 20q = -44, \\ -25p + 20q = 30. \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(32p - 20q) + (-25p + 20q) = -44 + 30$

$32p - 25p = -14$

$7p = -14$

$p = -2$

Подставим $p = -2$ во второе уравнение исходной системы:

$5(-2) - 4q = -6$

$-10 - 4q = -6$

$-4q = -6 + 10$

$-4q = 4$

$q = -1$

Решение системы: $p = -2, q = -1$.

Ответ: $p = -2, q = -1$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6u - 5v = -38, \\ 2u + 7v = 22. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Чтобы исключить переменную u, умножим второе уравнение на -3.

$ \begin{cases} 6u - 5v = -38, \\ -3 \cdot (2u + 7v) = -3 \cdot 22; \end{cases} $

$ \begin{cases} 6u - 5v = -38, \\ -6u - 21v = -66. \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(6u - 5v) + (-6u - 21v) = -38 + (-66)$

$-5v - 21v = -104$

$-26v = -104$

$v = 4$

Подставим $v = 4$ во второе уравнение исходной системы:

$2u + 7(4) = 22$

$2u + 28 = 22$

$2u = 22 - 28$

$2u = -6$

$u = -3$

Решение системы: $u = -3, v = 4$.

Ответ: $u = -3, v = 4$.