Страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1227.При каких значениях a не имеет решений система уравнений

$$\begin{cases} 8x + 9y = 7, \\ 8x + 9y = a? \end{cases}$$

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} 8x + 9y = 7, \\ 8x + 9y = a \end{cases} $$

Для того чтобы система имела решение, необходимо существование такой пары чисел $(x, y)$, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям одновременно.

Обратим внимание, что левые части обоих уравнений в системе абсолютно идентичны: $8x + 9y$.

Это означает, что если решение существует, то для него должно выполняться равенство $8x + 9y = 7$ и одновременно $8x + 9y = a$. Отсюда следует, что правые части этих уравнений также должны быть равны между собой, то есть $7 = a$.

• Если $a = 7$, то оба уравнения системы становятся одинаковыми: $8x + 9y = 7$. В этом случае система имеет бесконечное множество решений (все точки, лежащие на этой прямой).
• Если $a \neq 7$, то мы получаем противоречие. Невозможно, чтобы одно и то же выражение $8x + 9y$ было одновременно равно двум разным числам (7 и $a$). В этом случае не существует ни одной пары $(x, y)$, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям.

Геометрически, уравнения $8x + 9y = 7$ и $8x + 9y = a$ представляют собой две прямые. Так как у них одинаковые коэффициенты при $x$ и $y$, эти прямые параллельны. Если $a = 7$, прямые совпадают. Если же $a \neq 7$, то это две различные параллельные прямые, которые никогда не пересекаются, а значит, система не имеет точек пересечения, то есть решений.

Таким образом, система не имеет решений при всех значениях $a$, не равных 7.

Ответ: при $a \neq 7$.

1228.При каком значении a имеет бесконечно много решений система уравнений:

1) $ \begin{cases} x + 5y = 4, \\ 4x + 20y = a \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x + ay = 12, \\ 9x - 15y = 36 \end{cases} $

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда одно уравнение можно получить из другого умножением на некоторое число, не равное нулю. Геометрически это означает, что графики уравнений (прямые) совпадают. Алгебраически это условие выражается как пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных и свободных членов: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$

1) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 5y = 4 \\ 4x + 20y = a \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1 = 1$, $B_1 = 5$, $C_1 = 4$ и $A_2 = 4$, $B_2 = 20$, $C_2 = a$.
Чтобы система имела бесконечно много решений, должно выполняться равенство: $$ \frac{1}{4} = \frac{5}{20} = \frac{4}{a} $$ Проверим соотношение коэффициентов при $x$ и $y$: $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$. Это верное равенство, так как $\frac{5}{20}$ сокращается до $\frac{1}{4}$.
Теперь найдем значение $a$, приравняв отношение свободных членов к известному отношению коэффициентов: $$ \frac{1}{4} = \frac{4}{a} $$ Из этой пропорции находим $a$:
$1 \cdot a = 4 \cdot 4$
$a = 16$

Ответ: $a = 16$.

2) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x + ay = 12 \\ 9x - 15y = 36 \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1 = 3$, $B_1 = a$, $C_1 = 12$ и $A_2 = 9$, $B_2 = -15$, $C_2 = 36$.
Условие для бесконечного числа решений: $$ \frac{3}{9} = \frac{a}{-15} = \frac{12}{36} $$ Упростим известные отношения:
$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$
Так как отношения коэффициентов при $x$ и свободных членов равны, найдем $a$ из пропорции: $$ \frac{a}{-15} = \frac{1}{3} $$ Выразим $a$:
$a = \frac{1}{3} \cdot (-15)$
$a = -5$

Ответ: $a = -5$.

1229.При каких значениях a система уравнений:

1) $\begin{cases} 7x - 12y = 14, \\ 7x - 12y = a \end{cases}$

не имеет решений;

2) $\begin{cases} 6x + ay = 4, \\ 3x - 5y = 2 \end{cases}$

имеет бесконечно много решений?

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 12y = 14, \\ 7x - 12y = a \end{cases} $

Данная система состоит из двух линейных уравнений. Левые части обоих уравнений одинаковы: $7x - 12y$.

Если бы система имела хотя бы одно решение (пару чисел $x_0, y_0$), то при подстановке этих чисел в оба уравнения левые части были бы равны. Следовательно, и правые части уравнений должны быть равны:

$14 = a$

Если $a = 14$, то оба уравнения в системе становятся идентичными ($7x - 12y = 14$). Это означает, что графики уравнений совпадают, и система имеет бесконечное множество решений.

Если же $a \neq 14$, то мы получаем противоречие: выражение $7x - 12y$ не может одновременно равняться двум разным числам. В этом случае не существует такой пары $(x, y)$, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям. Геометрически это означает, что уравнения описывают две параллельные, но не совпадающие прямые.

Таким образом, система не имеет решений, когда $a \neq 14$.

Ответ: при $a \neq 14$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 6x + ay = 4, \\ 3x - 5y = 2 \end{cases} $

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число. Это означает, что коэффициенты при переменных и свободные члены должны быть пропорциональны.

Запишем условие пропорциональности для коэффициентов нашей системы:

$\frac{6}{3} = \frac{a}{-5} = \frac{4}{2}$

Вычислим значения известных отношений:

$\frac{6}{3} = 2$

$\frac{4}{2} = 2$

Оба отношения равны 2. Чтобы система имела бесконечное множество решений, отношение коэффициентов при $y$ также должно быть равно 2:

$\frac{a}{-5} = 2$

Решим это уравнение относительно $a$:

$a = 2 \cdot (-5)$

$a = -10$

При $a = -10$ первое уравнение системы ($6x - 10y = 4$) становится ровно в два раза "больше" второго ($3x - 5y = 2$), то есть они эквивалентны. Графики этих уравнений совпадают, и, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: при $a = -10$.

1230.Подберите такие значения a и b, при которых система уравнений

$$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ ax + 4y = b: \end{cases}$$

1) имеет бесконечно много решений;

2) имеет единственное решение;

3) не имеет решений.

Рассмотрим данную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ ax + 4y = b \end{cases} $

Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными зависит от соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $, где коэффициенты первого уравнения $A_1=1$, $B_1=-2$, $C_1=3$, а второго — $A_2=a$, $B_2=4$, $C_2=b$, проанализируем три возможных случая.

1) имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если уравнения пропорциональны, то есть графики уравнений (прямые) совпадают. Это условие выполняется, когда отношения всех соответствующих коэффициентов равны:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $

Подставим значения коэффициентов из нашей системы:

$ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} = \frac{3}{b} $

Из пропорции $ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} $ найдем значение $a$:

$ \frac{1}{a} = -\frac{1}{2} \implies a = -2 $

Из пропорции $ \frac{-2}{4} = \frac{3}{b} $ найдем значение $b$:

$ -\frac{1}{2} = \frac{3}{b} \implies -b = 2 \cdot 3 \implies b = -6 $

Следовательно, система имеет бесконечно много решений только при $a = -2$ и $b = -6$.
Ответ: $a = -2$, $b = -6$.

2) имеет единственное решение

Система имеет единственное решение, если прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Для коэффициентов системы это означает, что отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$:

$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $

Подставим наши значения:

$ \frac{1}{a} \neq \frac{-2}{4} $

$ \frac{1}{a} \neq -\frac{1}{2} \implies a \neq -2 $

В этом случае значение параметра $b$ не влияет на наличие единственного решения, так как оно определяет только положение прямой, но не её наклон. Поэтому $b$ может быть любым действительным числом.
Ответ: $a \neq -2$, $b$ — любое число.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это условие выполняется, когда отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Подставим наши значения:

$ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} \neq \frac{3}{b} $

Из равенства $ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} $ следует, что $a = -2$.

Теперь рассмотрим неравенство, используя найденное значение $a$:

$ \frac{-2}{4} \neq \frac{3}{b} \implies -\frac{1}{2} \neq \frac{3}{b} $

$ -b \neq 6 \implies b \neq -6 $

Следовательно, система не имеет решений при $a = -2$ и любом значении $b$, не равном $-6$.
Ответ: $a = -2$, $b \neq -6$.

1231. Подберите такие значения m и n, при которых система уравнений

$\begin{cases} x + y = 5, \\ 3x - my = n. \end{cases}$

1) имеет бесконечно много решений;

2) имеет единственное решение;

3) не имеет решений.

Рассмотрим систему линейных уравнений: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - my = n \end{cases}$

Для анализа количества решений системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ используются соотношения между коэффициентами. В нашем случае $a_1=1, b_1=1, c_1=5$ и $a_2=3, b_2=-m, c_2=n$.

1) имеет бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений (прямые) совпадают. Это происходит, когда коэффициенты уравнений пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения: $\frac{1}{3} = \frac{1}{-m} = \frac{5}{n}$

Из первой части равенства $\frac{1}{3} = \frac{1}{-m}$ находим $m$: $-m = 3 \implies m = -3$.

Из второй части равенства $\frac{1}{3} = \frac{5}{n}$ находим $n$: $n = 3 \cdot 5 \implies n = 15$.

Следовательно, система имеет бесконечно много решений при $m = -3$ и $n = 15$.

Ответ: $m = -3, n = 15$.

2) имеет единственное решение;

Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, что эквивалентно условию: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Подставим наши значения: $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{-m}$

Это неравенство выполняется, если $-m \neq 3$, то есть $m \neq -3$. При этом значение $n$ может быть любым, так как оно не влияет на наклон прямых.

Ответ: $m \neq -3$, $n$ — любое число.

3) не имеет решений.

Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда выполняется условие: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения: $\frac{1}{3} = \frac{1}{-m} \neq \frac{5}{n}$

Из равенства $\frac{1}{3} = \frac{1}{-m}$ мы уже знаем, что $m = -3$.

Теперь рассмотрим неравенство $\frac{1}{3} \neq \frac{5}{n}$. Оно выполняется, если $n \neq 3 \cdot 5$, то есть $n \neq 15$.

Следовательно, система не имеет решений при $m = -3$ и $n \neq 15$.

Ответ: $m = -3, n \neq 15$.

1232. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} |x| - y = 0, \\ x - y = -4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| - y = 0, \\ x + 3y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y + |x| = 0, \\ x + y = 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - |y| = 0, \\ 2x - y = 3. \end{cases}$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут являться решением системы.

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} |x| - y = 0 \\ x - y = -4 \end{cases} $.

Преобразуем уравнения для построения графиков:

1. Из первого уравнения $|x| - y = 0$ выразим $y$: $y = |x|$. График этой функции — это объединение двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

2. Из второго уравнения $x - y = -4$ также выразим $y$: $y = x + 4$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки, например, (0, 4) и (-4, 0).

Теперь найдём точки пересечения графиков. Построим их на координатной плоскости. Видно, что прямая $y = x + 4$ пересекает график $y = |x|$ в одной точке. Чтобы найти её координаты, решим систему аналитически.

Подставим $y = |x|$ во второе уравнение: $x - |x| = -4$.

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x - x = -4$, то есть $0 = -4$. Это неверное равенство, следовательно, при $x \ge 0$ пересечений нет. Это соответствует тому, что луч $y=x$ параллелен прямой $y=x+4$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $x - (-x) = -4$, то есть $2x = -4$, откуда $x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x < 0$. Найдём соответствующий $y$: $y = -x = -(-2) = 2$.

Таким образом, система имеет одно решение.

Ответ: $(-2, 2)$.

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} |x| - y = 0 \\ x + 3y = 4 \end{cases} $.

Преобразуем уравнения для построения графиков:

1. Первое уравнение, как и в предыдущем пункте, задаёт график функции $y = |x|$.

2. Из второго уравнения $x + 3y = 4$ выразим $y$: $3y = -x + 4$, то есть $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения можно взять точки, например, (1, 1) и (4, 0).

Найдём точки пересечения графиков $y = |x|$ и $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x \ge 0$, то $y = x$. Подставим в уравнение прямой: $x = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$. Умножим на 3: $3x = -x + 4$, откуда $4x = 4$ и $x = 1$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 0$. Найдём $y$: $y = x = 1$. Первая точка пересечения — (1, 1).
• Если $x < 0$, то $y = -x$. Подставим в уравнение прямой: $-x = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$. Умножим на 3: $-3x = -x + 4$, откуда $-2x = 4$ и $x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x < 0$. Найдём $y$: $y = -x = -(-2) = 2$. Вторая точка пересечения — (-2, 2).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 1)$ и $(-2, 2)$.

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y + |x| = 0 \\ x + y = 2 \end{cases} $.

Преобразуем уравнения для построения графиков:

1. Из первого уравнения $y + |x| = 0$ выразим $y$: $y = -|x|$. График этой функции — это объединение двух лучей, выходящих из начала координат и направленных вниз: $y = -x$ для $x \ge 0$ и $y = x$ для $x < 0$.

2. Из второго уравнения $x + y = 2$ выразим $y$: $y = -x + 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения можно взять точки (0, 2) и (2, 0).

Найдём точки пересечения графиков $y = -|x|$ и $y = -x + 2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x \ge 0$, то $y = -x$. Подставим в уравнение прямой: $-x = -x + 2$, откуда $0 = 2$. Это неверное равенство, следовательно, при $x \ge 0$ пересечений нет. Графически луч $y = -x$ при $x \ge 0$ параллелен прямой $y = -x+2$.
• Если $x < 0$, то $y = x$. Подставим в уравнение прямой: $x = -x + 2$, откуда $2x = 2$ и $x = 1$. Полученное значение $x=1$ не удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, в этой области также нет пересечений.

Графики не пересекаются, значит система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x - |y| = 0 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $.

Преобразуем уравнения для построения графиков:

1. Из первого уравнения $x - |y| = 0$ получим $x = |y|$. График этого соотношения — объединение двух лучей, выходящих из начала координат и симметричных относительно оси OX: $x = y$ для $y \ge 0$ и $x = -y$ для $y < 0$.

2. Из второго уравнения $2x - y = 3$ выразим $y$: $y = 2x - 3$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения можно взять точки (0, -3) и (1.5, 0).

Найдём точки пересечения графиков. Подставим $y = 2x - 3$ в первое уравнение: $x - |2x - 3| = 0$. Проще подставить $x=|y|$ во второе уравнение: $2|y| - y = 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $y \ge 0$, то $|y| = y$. Уравнение принимает вид $2y - y = 3$, откуда $y = 3$. Это значение удовлетворяет условию $y \ge 0$. Найдём соответствующий $x$: $x = |y| = |3| = 3$. Первая точка пересечения — (3, 3).
• Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Уравнение принимает вид $2(-y) - y = 3$, то есть $-3y = 3$, откуда $y = -1$. Это значение удовлетворяет условию $y < 0$. Найдём $x$: $x = |y| = |-1| = 1$. Вторая точка пересечения — (1, -1).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 3)$ и $(1, -1)$.

1233. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ x + 2y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |y - 2x| = 3, \\ x - 2y = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4, \\ |x + y| = 2. \end{cases}$

1) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ x + 2y = 3. \end{cases} $

Первое уравнение, $x^2 - y^2 = 0$, можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = 0$. Это уравнение распадается на два: $x-y=0$ или $x+y=0$. Таким образом, графиком первого уравнения является пара пересекающихся прямых: $y=x$ и $y=-x$.

Второе уравнение, $x + 2y = 3$, является уравнением прямой. Выразим $y$ через $x$: $2y = 3 - x$, откуда $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. Для построения этой прямой найдем две точки. Например, если $x=1$, то $y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{3}{2} = 1$. Если $x=3$, то $y = -\frac{1}{2}(3) + \frac{3}{2} = 0$. Прямая проходит через точки $(1, 1)$ и $(3, 0)$.

Решения системы — это точки пересечения прямой $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ с прямыми $y=x$ и $y=-x$.

Найдем первую точку пересечения (с прямой $y=x$):
Подставим $y=x$ в уравнение $x + 2y = 3$:
$x + 2x = 3$
$3x = 3$
$x = 1$
Так как $y=x$, то $y = 1$.
Первая точка пересечения: $(1, 1)$.

Найдем вторую точку пересечения (с прямой $y=-x$):
Подставим $y=-x$ в уравнение $x + 2y = 3$:
$x + 2(-x) = 3$
$x - 2x = 3$
$-x = 3$
$x = -3$
Так как $y=-x$, то $y = -(-3) = 3$.
Вторая точка пересечения: $(-3, 3)$.

Ответ: $(1, 1)$, $(-3, 3)$.

2) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} |y - 2x| = 3, \\ x - 2y = 0. \end{cases} $

Первое уравнение, $|y - 2x| = 3$, по определению модуля, эквивалентно двум уравнениям: $y - 2x = 3$ или $y - 2x = -3$. Отсюда получаем две параллельные прямые: $y = 2x + 3$ и $y = 2x - 3$. Графиком первого уравнения является эта пара прямых.

Второе уравнение, $x - 2y = 0$, является уравнением прямой. Выразим $y$ через $x$: $2y = x$, откуда $y = \frac{1}{2}x$. Эта прямая проходит через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(2, 1)$.

Решения системы — это точки пересечения прямой $y = \frac{1}{2}x$ с парой прямых $y = 2x + 3$ и $y = 2x - 3$.

Найдем первую точку пересечения (с прямой $y = 2x + 3$):
Приравняем выражения для $y$:
$\frac{1}{2}x = 2x + 3$
$\frac{1}{2}x - 2x = 3$
$-\frac{3}{2}x = 3$
$x = -2$
$y = \frac{1}{2}(-2) = -1$
Первая точка пересечения: $(-2, -1)$.

Найдем вторую точку пересечения (с прямой $y = 2x - 3$):
Приравняем выражения для $y$:
$\frac{1}{2}x = 2x - 3$
$-\frac{3}{2}x = -3$
$x = 2$
$y = \frac{1}{2}(2) = 1$
Вторая точка пересечения: $(2, 1)$.

Ответ: $(-2, -1)$, $(2, 1)$.

3) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4, \\ |x + y| = 2. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение. Левая часть является полным квадратом разности: $(x-y)^2 = 4$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $x-y = 2$ или $x-y = -2$. Таким образом, графиком первого уравнения является пара параллельных прямых: $y = x - 2$ и $y = x + 2$.

Преобразуем второе уравнение. По определению модуля, $|x + y| = 2$ эквивалентно: $x+y = 2$ или $x+y = -2$. Таким образом, графиком второго уравнения также является пара параллельных прямых: $y = -x + 2$ и $y = -x - 2$.

Решениями системы являются точки пересечения первой пары прямых ($y=x-2$, $y=x+2$) со второй парой прямых ($y=-x+2$, $y=-x-2$). Эти четыре прямые образуют на плоскости прямоугольник, вершины которого и являются решениями системы.

Найдем точки пересечения:
1. Пересечение $y = x - 2$ и $y = -x + 2$:
$x - 2 = -x + 2 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
$y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.
2. Пересечение $y = x - 2$ и $y = -x - 2$:
$x - 2 = -x - 2 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
$y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
3. Пересечение $y = x + 2$ и $y = -x + 2$:
$x + 2 = -x + 2 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
$y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
4. Пересечение $y = x + 2$ и $y = -x - 2$:
$x + 2 = -x - 2 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
$y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(0, -2)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$.