Номер 1233, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1233, страница 234.

Условие.

1233. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ x + 2y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |y - 2x| = 3, \\ x - 2y = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4, \\ |x + y| = 2. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ x + 2y = 3. \end{cases} $

Первое уравнение, $x^2 - y^2 = 0$, можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = 0$. Это уравнение распадается на два: $x-y=0$ или $x+y=0$. Таким образом, графиком первого уравнения является пара пересекающихся прямых: $y=x$ и $y=-x$.

Второе уравнение, $x + 2y = 3$, является уравнением прямой. Выразим $y$ через $x$: $2y = 3 - x$, откуда $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. Для построения этой прямой найдем две точки. Например, если $x=1$, то $y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{3}{2} = 1$. Если $x=3$, то $y = -\frac{1}{2}(3) + \frac{3}{2} = 0$. Прямая проходит через точки $(1, 1)$ и $(3, 0)$.

Решения системы — это точки пересечения прямой $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ с прямыми $y=x$ и $y=-x$.

Найдем первую точку пересечения (с прямой $y=x$):
Подставим $y=x$ в уравнение $x + 2y = 3$:
$x + 2x = 3$
$3x = 3$
$x = 1$
Так как $y=x$, то $y = 1$.
Первая точка пересечения: $(1, 1)$.

Найдем вторую точку пересечения (с прямой $y=-x$):
Подставим $y=-x$ в уравнение $x + 2y = 3$:
$x + 2(-x) = 3$
$x - 2x = 3$
$-x = 3$
$x = -3$
Так как $y=-x$, то $y = -(-3) = 3$.
Вторая точка пересечения: $(-3, 3)$.

Ответ: $(1, 1)$, $(-3, 3)$.

---

2) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} |y - 2x| = 3, \\ x - 2y = 0. \end{cases} $

Первое уравнение, $|y - 2x| = 3$, по определению модуля, эквивалентно двум уравнениям: $y - 2x = 3$ или $y - 2x = -3$. Отсюда получаем две параллельные прямые: $y = 2x + 3$ и $y = 2x - 3$. Графиком первого уравнения является эта пара прямых.

Второе уравнение, $x - 2y = 0$, является уравнением прямой. Выразим $y$ через $x$: $2y = x$, откуда $y = \frac{1}{2}x$. Эта прямая проходит через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(2, 1)$.

Решения системы — это точки пересечения прямой $y = \frac{1}{2}x$ с парой прямых $y = 2x + 3$ и $y = 2x - 3$.

Найдем первую точку пересечения (с прямой $y = 2x + 3$):
Приравняем выражения для $y$:
$\frac{1}{2}x = 2x + 3$
$\frac{1}{2}x - 2x = 3$
$-\frac{3}{2}x = 3$
$x = -2$
$y = \frac{1}{2}(-2) = -1$
Первая точка пересечения: $(-2, -1)$.

Найдем вторую точку пересечения (с прямой $y = 2x - 3$):
Приравняем выражения для $y$:
$\frac{1}{2}x = 2x - 3$
$-\frac{3}{2}x = -3$
$x = 2$
$y = \frac{1}{2}(2) = 1$
Вторая точка пересечения: $(2, 1)$.

Ответ: $(-2, -1)$, $(2, 1)$.

---

3) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4, \\ |x + y| = 2. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение. Левая часть является полным квадратом разности: $(x-y)^2 = 4$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $x-y = 2$ или $x-y = -2$. Таким образом, графиком первого уравнения является пара параллельных прямых: $y = x - 2$ и $y = x + 2$.

Преобразуем второе уравнение. По определению модуля, $|x + y| = 2$ эквивалентно: $x+y = 2$ или $x+y = -2$. Таким образом, графиком второго уравнения также является пара параллельных прямых: $y = -x + 2$ и $y = -x - 2$.

Решениями системы являются точки пересечения первой пары прямых ($y=x-2$, $y=x+2$) со второй парой прямых ($y=-x+2$, $y=-x-2$). Эти четыре прямые образуют на плоскости прямоугольник, вершины которого и являются решениями системы.

Найдем точки пересечения:
1. Пересечение $y = x - 2$ и $y = -x + 2$:
$x - 2 = -x + 2 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
$y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.
2. Пересечение $y = x - 2$ и $y = -x - 2$:
$x - 2 = -x - 2 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
$y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
3. Пересечение $y = x + 2$ и $y = -x + 2$:
$x + 2 = -x + 2 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
$y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
4. Пересечение $y = x + 2$ и $y = -x - 2$:
$x + 2 = -x - 2 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
$y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(0, -2)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$.