Номер 1238, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1238, страница 235.

Условие.

1238. Остаток при делении числа $a$ на 5 равен 4, а остаток при делении на 5 числа $b$ равен 3. Докажите, что значение выражения $a^2 + b^2$ кратно 5.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию, остаток при делении числа $a$ на 5 равен 4. Это значит, что число $a$ можно представить в виде $a = 5k + 4$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, остаток при делении числа $b$ на 5 равен 3. Это значит, что число $b$ можно представить в виде $b = 5m + 3$, где $m$ — некоторое целое число.

Требуется доказать, что значение выражения $a^2 + b^2$ кратно 5, то есть делится на 5 без остатка. Для этого подставим в выражение $a^2 + b^2$ наши представления для $a$ и $b$:
$a^2 + b^2 = (5k + 4)^2 + (5m + 3)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(5k + 4)^2 = (5k)^2 + 2 \cdot 5k \cdot 4 + 4^2 = 25k^2 + 40k + 16$
$(5m + 3)^2 = (5m)^2 + 2 \cdot 5m \cdot 3 + 3^2 = 25m^2 + 30m + 9$

Теперь сложим полученные результаты:
$a^2 + b^2 = (25k^2 + 40k + 16) + (25m^2 + 30m + 9)$
Сгруппируем слагаемые:
$a^2 + b^2 = 25k^2 + 40k + 25m^2 + 30m + (16 + 9)$
$a^2 + b^2 = 25k^2 + 40k + 25m^2 + 30m + 25$

В полученном выражении каждый член делится на 5. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$a^2 + b^2 = 5 \cdot (5k^2 + 8k + 5m^2 + 6m + 5)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то и все выражение в скобках $(5k^2 + 8k + 5m^2 + 6m + 5)$ является целым числом. Если обозначить это целое число как $N$, то мы получим $a^2 + b^2 = 5N$.

Равенство $a^2 + b^2 = 5N$ показывает, что значение выражения $a^2 + b^2$ является произведением числа 5 и целого числа $N$, следовательно, оно кратно 5.

Ответ: Что и требовалось доказать.