Номер 1245, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 29. Решение систем линейных уравнений методом подстановки. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1245, страница 238.

Условие.

1245. Найдите решение системы уравнений:

1) $\begin{cases}6 - 5(x - y) = 7x + 4y, \\3(x + 1) - (6x + 8y) = 69 + 3y;\end{cases}$

2) $\begin{cases}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \\5x - y = 34;\end{cases}$

3) $\begin{cases}6y - 5x = 1, \\\frac{x - 1}{2} + \frac{3y - x}{4} = -4\frac{3}{4};\end{cases}$

4) $\begin{cases}\frac{1,5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3, \\\frac{2,5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0,5.\end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 6 - 5(x - y) = 7x + 4y, \\ 3(x + 1) - (6x + 8y) = 69 + 3y; \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение: $6 - 5x + 5y = 7x + 4y$. Перенесем переменные в одну часть, а константы в другую: $5y - 4y = 7x + 5x - 6$, что дает $y = 12x - 6$.

Второе уравнение: $3x + 3 - 6x - 8y = 69 + 3y$. Перенесем переменные и константы: $3x - 6x - 8y - 3y = 69 - 3$, что дает $-3x - 11y = 66$.

Теперь у нас есть система:

$\begin{cases} y = 12x - 6, \\ -3x - 11y = 66. \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$-3x - 11(12x - 6) = 66$

$-3x - 132x + 66 = 66$

$-135x = 66 - 66$

$-135x = 0$

$x = 0$

Теперь найдем $y$, подставив $x = 0$ в первое упрощенное уравнение:

$y = 12(0) - 6 = -6$

Решение системы: $(0, -6)$.

Ответ: $(0, -6)$.

2) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \\ 5x - y = 34; \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на наименьший общий знаменатель 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{x}{2}) - 6 \cdot (\frac{y}{3}) = 6 \cdot 2$

$3x - 2y = 12$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ 5x - y = 34. \end{cases}$

Из второго уравнения удобно выразить $y$: $y = 5x - 34$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x - 2(5x - 34) = 12$

$3x - 10x + 68 = 12$

$-7x = 12 - 68$

$-7x = -56$

$x = 8$

Теперь найдем $y$, подставив $x = 8$ в выражение для $y$:

$y = 5(8) - 34 = 40 - 34 = 6$

Решение системы: $(8, 6)$.

Ответ: $(8, 6)$.

3) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 6y - 5x = 1, \\ \frac{x - 1}{2} + \frac{3y - x}{4} = -4\frac{3}{4}; \end{cases}$

Упростим второе уравнение. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-4\frac{3}{4} = -\frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = -\frac{19}{4}$.

Умножим второе уравнение на общий знаменатель 4:

$4 \cdot \frac{x - 1}{2} + 4 \cdot \frac{3y - x}{4} = 4 \cdot (-\frac{19}{4})$

$2(x - 1) + (3y - x) = -19$

$2x - 2 + 3y - x = -19$

$x + 3y = -19 + 2$

$x + 3y = -17$

Теперь система выглядит так (запишем первое уравнение в стандартном виде):

$\begin{cases} -5x + 6y = 1, \\ x + 3y = -17. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = -17 - 3y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$-5(-17 - 3y) + 6y = 1$

$85 + 15y + 6y = 1$

$21y = 1 - 85$

$21y = -84$

$y = -4$

Теперь найдем $x$, подставив $y = -4$ в выражение для $x$:

$x = -17 - 3(-4) = -17 + 12 = -5$

Решение системы: $(-5, -4)$.

Ответ: $(-5, -4)$.

4) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1,5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3, \\ \frac{2,5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0,5; \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на общий знаменатель 24:

$24 \cdot \frac{1,5x - 3}{3} + 24 \cdot \frac{7 - 3y}{8} = 24 \cdot 3$

$8(1,5x - 3) + 3(7 - 3y) = 72$

$12x - 24 + 21 - 9y = 72$

$12x - 9y - 3 = 72$

$12x - 9y = 75$

Разделим обе части на 3 для упрощения: $4x - 3y = 25$.

Упростим второе уравнение, умножив его на общий знаменатель 6 и представив $0,5$ как $\frac{1}{2}$:

$6 \cdot \frac{2,5x - 2}{3} - 6 \cdot \frac{2y + 1}{6} = 6 \cdot (x - 0,5)$

$2(2,5x - 2) - (2y + 1) = 6x - 3$

$5x - 4 - 2y - 1 = 6x - 3$

$5x - 2y - 5 = 6x - 3$

$5x - 6x - 2y = -3 + 5$

$-x - 2y = 2$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 4x - 3y = 25, \\ -x - 2y = 2. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $-x = 2 + 2y$, откуда $x = -2 - 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4(-2 - 2y) - 3y = 25$

$-8 - 8y - 3y = 25$

$-11y = 25 + 8$

$-11y = 33$

$y = -3$

Теперь найдем $x$, подставив $y = -3$ в выражение для $x$:

$x = -2 - 2(-3) = -2 + 6 = 4$

Решение системы: $(4, -3)$.

Ответ: $(4, -3)$.