Номер 1246, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 29. Решение систем линейных уравнений методом подстановки. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1246, страница 238.

Условие.

1246. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 6x + 3 = 5x - 4(5y + 4) \\ 3(2x - 3y) - 6x = 8 - y \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x+3}{2} - \frac{y-4}{7} = 1 \\ 6y - x = 5 \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} = 4 \\ \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-5y}{3} = 5 \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 6x + 3 = 5x - 4(5y + 4) \\ 3(2x - 3y) - 6x = 8 - y \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение. Начнем с первого:

$6x + 3 = 5x - 20y - 16$
$6x - 5x + 20y = -16 - 3$
$x + 20y = -19$

Теперь упростим второе уравнение:

$6x - 9y - 6x = 8 - y$
$-9y = 8 - y$
$-9y + y = 8$
$-8y = 8$
$y = -1$

Мы нашли значение $y$. Теперь подставим $y = -1$ в упрощенное первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + 20(-1) = -19$
$x - 20 = -19$
$x = -19 + 20$
$x = 1$

Ответ: $(1; -1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x + 3}{2} - \frac{y - 4}{7} = 1 \\ 6y - x = 5 \end{cases} $

Упростим первое уравнение. Для этого умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 7, то есть на 14:

$14 \cdot \frac{x + 3}{2} - 14 \cdot \frac{y - 4}{7} = 14 \cdot 1$
$7(x + 3) - 2(y - 4) = 14$
$7x + 21 - 2y + 8 = 14$
$7x - 2y + 29 = 14$
$7x - 2y = 14 - 29$
$7x - 2y = -15$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 7x - 2y = -15 \\ 6y - x = 5 \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:

$6y - 5 = x$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$7(6y - 5) - 2y = -15$
$42y - 35 - 2y = -15$
$40y = 35 - 15$
$40y = 20$
$y = \frac{20}{40} = 0,5$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 0,5$ в выражение $x = 6y - 5$:

$x = 6 \cdot 0,5 - 5$
$x = 3 - 5$
$x = -2$

Ответ: $(-2; 0,5)$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x + y}{8} + \frac{x - y}{6} = 4 \\ \frac{3x + y}{4} - \frac{2x - 5y}{3} = 5 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 6, то есть на 24:

$24 \cdot \frac{x + y}{8} + 24 \cdot \frac{x - y}{6} = 24 \cdot 4$
$3(x + y) + 4(x - y) = 96$
$3x + 3y + 4x - 4y = 96$
$7x - y = 96$

Упростим второе уравнение, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{3x + y}{4} - 12 \cdot \frac{2x - 5y}{3} = 12 \cdot 5$
$3(3x + y) - 4(2x - 5y) = 60$
$9x + 3y - 8x + 20y = 60$
$x + 23y = 60$

Получили упрощенную систему:

$ \begin{cases} 7x - y = 96 \\ x + 23y = 60 \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 60 - 23y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$7(60 - 23y) - y = 96$
$420 - 161y - y = 96$
$420 - 162y = 96$
$-162y = 96 - 420$
$-162y = -324$
$y = \frac{-324}{-162} = 2$

Теперь найдем $x$, подставив $y = 2$ в выражение $x = 60 - 23y$:

$x = 60 - 23 \cdot 2$
$x = 60 - 46$
$x = 14$

Ответ: $(14; 2)$.