Номер 1242, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 29. Решение систем линейных уравнений методом подстановки. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1242, страница 237.

Условие.

1242. Найдите решение системы уравнений:

1) $\begin{cases} 4x + y = 12, \\ 7x + 2y = 20; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 8y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4y - x = 11, \\ 5x - 2y = 17; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 6x - y = -1, \\ 2x - 3y = -11; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x + y = 7, \\ 9y - 2x = -25; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 5x - 3y = 0, \\ 15x + 2y = 55. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x + y = 12, \\ 7x + 2y = 20; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 12 - 4x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$7x + 2(12 - 4x) = 20$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$7x + 24 - 8x = 20$

$-x = 20 - 24$

$-x = -4$

$x = 4$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 4$ в выражение для $y$:

$y = 12 - 4(4) = 12 - 16 = -4$

Таким образом, решение системы: $x = 4$, $y = -4$.

Ответ: $(4; -4)$

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 8y = 1; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 5 + 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$3(5 + 2y) + 8y = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$15 + 6y + 8y = 1$

$14y = 1 - 15$

$14y = -14$

$y = -1$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = -1$ в выражение для $x$:

$x = 5 + 2(-1) = 5 - 2 = 3$

Таким образом, решение системы: $x = 3$, $y = -1$.

Ответ: $(3; -1)$

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4y - x = 11, \\ 5x - 2y = 17; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$-x = 11 - 4y$

$x = 4y - 11$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$5(4y - 11) - 2y = 17$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$20y - 55 - 2y = 17$

$18y = 17 + 55$

$18y = 72$

$y = 4$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 4$ в выражение для $x$:

$x = 4(4) - 11 = 16 - 11 = 5$

Таким образом, решение системы: $x = 5$, $y = 4$.

Ответ: $(5; 4)$

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 6x - y = -1, \\ 2x - 3y = -11; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$-y = -1 - 6x$

$y = 6x + 1$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$2x - 3(6x + 1) = -11$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$2x - 18x - 3 = -11$

$-16x = -11 + 3$

$-16x = -8$

$x = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = \frac{1}{2}$ в выражение для $y$:

$y = 6\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 3 + 1 = 4$

Таким образом, решение системы: $x = \frac{1}{2}$, $y = 4$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; 4)$

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 7, \\ 9y - 2x = -25; \end{cases}$

Для удобства перепишем второе уравнение в стандартном виде:

$\begin{cases} x + y = 7, \\ -2x + 9y = -25; \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 7 - y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$-2(7 - y) + 9y = -25$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$-14 + 2y + 9y = -25$

$11y = -25 + 14$

$11y = -11$

$y = -1$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = -1$ в выражение для $x$:

$x = 7 - (-1) = 7 + 1 = 8$

Таким образом, решение системы: $x = 8$, $y = -1$.

Ответ: $(8; -1)$

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 3y = 0, \\ 15x + 2y = 55. \end{cases}$

Решим систему методом сложения (исключения). Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами:

$-3(5x - 3y) = -3(0) \implies -15x + 9y = 0$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} -15x + 9y = 0, \\ 15x + 2y = 55. \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы:

$(-15x + 9y) + (15x + 2y) = 0 + 55$

$11y = 55$

$y = 5$

Теперь подставим найденное значение $y=5$ в первое исходное уравнение ($5x - 3y = 0$) и найдем $x$:

$5x - 3(5) = 0$

$5x - 15 = 0$

$5x = 15$

$x = 3$

Таким образом, решение системы: $x = 3$, $y = 5$.

Ответ: $(3; 5)$