Номер 1236, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1236, страница 235.

Условие.

1236. Найдите четыре последовательных нечётных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 164.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомые четыре последовательных нечётных натуральных числа можно представить в виде $n-3$, $n-1$, $n+1$, $n+3$, где $n$ — некоторое чётное натуральное число. Такой выбор переменных удобен, так как он упростит алгебраические преобразования.

По условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 164. Составим уравнение:

$(n-3)^2 + (n-1)^2 + (n+1)^2 + (n+3)^2 = 164$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(n^2 - 6n + 9) + (n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 6n + 9) = 164$

Приведём подобные слагаемые. Обратите внимание, что слагаемые, содержащие $n$ в первой степени, взаимно уничтожаются ($-6n - 2n + 2n + 6n = 0$).

$(n^2 + n^2 + n^2 + n^2) + (9 + 1 + 1 + 9) = 164$

$4n^2 + 20 = 164$

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

$4n^2 = 164 - 20$

$4n^2 = 144$

$n^2 = \frac{144}{4}$

$n^2 = 36$

$n = \sqrt{36}$

$n_1 = 6$, $n_2 = -6$

Поскольку мы ищем натуральные числа, самое меньшее из них, $n-3$, должно быть положительным: $n-3 > 0$, следовательно, $n > 3$.

Корень $n_2 = -6$ не удовлетворяет условию $n > 3$, поэтому мы его отбрасываем. При $n = -6$ получились бы числа $-9, -7, -5, -3$, которые не являются натуральными.

Корень $n_1 = 6$ удовлетворяет условию $n > 3$. Найдём искомые числа, подставив это значение $n$:

• Первое число: $n - 3 = 6 - 3 = 3$
• Второе число: $n - 1 = 6 - 1 = 5$
• Третье число: $n + 1 = 6 + 1 = 7$
• Четвёртое число: $n + 3 = 6 + 3 = 9$

Таким образом, мы получили четыре последовательных нечётных натуральных числа: 3, 5, 7, 9.

Выполним проверку:

$3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 9 + 25 + 49 + 81 = 34 + 130 = 164$

Сумма квадратов равна 164, что соответствует условию задачи.

Ответ: 3, 5, 7, 9.