Номер 1232, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1232, страница 234.

Условие.

1232. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} |x| - y = 0, \\ x - y = -4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| - y = 0, \\ x + 3y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y + |x| = 0, \\ x + y = 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - |y| = 0, \\ 2x - y = 3. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут являться решением системы.

1)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} |x| - y = 0 \\ x - y = -4 \end{cases} $.

Преобразуем уравнения для построения графиков:

1. Из первого уравнения $|x| - y = 0$ выразим $y$: $y = |x|$. График этой функции — это объединение двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

2. Из второго уравнения $x - y = -4$ также выразим $y$: $y = x + 4$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки, например, (0, 4) и (-4, 0).

Теперь найдём точки пересечения графиков. Построим их на координатной плоскости. Видно, что прямая $y = x + 4$ пересекает график $y = |x|$ в одной точке. Чтобы найти её координаты, решим систему аналитически.

Подставим $y = |x|$ во второе уравнение: $x - |x| = -4$.

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x - x = -4$, то есть $0 = -4$. Это неверное равенство, следовательно, при $x \ge 0$ пересечений нет. Это соответствует тому, что луч $y=x$ параллелен прямой $y=x+4$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $x - (-x) = -4$, то есть $2x = -4$, откуда $x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x < 0$. Найдём соответствующий $y$: $y = -x = -(-2) = 2$.

Таким образом, система имеет одно решение.

Ответ: $(-2, 2)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} |x| - y = 0 \\ x + 3y = 4 \end{cases} $.

Преобразуем уравнения для построения графиков:

1. Первое уравнение, как и в предыдущем пункте, задаёт график функции $y = |x|$.

2. Из второго уравнения $x + 3y = 4$ выразим $y$: $3y = -x + 4$, то есть $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения можно взять точки, например, (1, 1) и (4, 0).

Найдём точки пересечения графиков $y = |x|$ и $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x \ge 0$, то $y = x$. Подставим в уравнение прямой: $x = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$. Умножим на 3: $3x = -x + 4$, откуда $4x = 4$ и $x = 1$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 0$. Найдём $y$: $y = x = 1$. Первая точка пересечения — (1, 1).
• Если $x < 0$, то $y = -x$. Подставим в уравнение прямой: $-x = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$. Умножим на 3: $-3x = -x + 4$, откуда $-2x = 4$ и $x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x < 0$. Найдём $y$: $y = -x = -(-2) = 2$. Вторая точка пересечения — (-2, 2).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 1)$ и $(-2, 2)$.

3)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y + |x| = 0 \\ x + y = 2 \end{cases} $.

Преобразуем уравнения для построения графиков:

1. Из первого уравнения $y + |x| = 0$ выразим $y$: $y = -|x|$. График этой функции — это объединение двух лучей, выходящих из начала координат и направленных вниз: $y = -x$ для $x \ge 0$ и $y = x$ для $x < 0$.

2. Из второго уравнения $x + y = 2$ выразим $y$: $y = -x + 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения можно взять точки (0, 2) и (2, 0).

Найдём точки пересечения графиков $y = -|x|$ и $y = -x + 2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $x \ge 0$, то $y = -x$. Подставим в уравнение прямой: $-x = -x + 2$, откуда $0 = 2$. Это неверное равенство, следовательно, при $x \ge 0$ пересечений нет. Графически луч $y = -x$ при $x \ge 0$ параллелен прямой $y = -x+2$.
• Если $x < 0$, то $y = x$. Подставим в уравнение прямой: $x = -x + 2$, откуда $2x = 2$ и $x = 1$. Полученное значение $x=1$ не удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, в этой области также нет пересечений.

Графики не пересекаются, значит система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x - |y| = 0 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $.

Преобразуем уравнения для построения графиков:

1. Из первого уравнения $x - |y| = 0$ получим $x = |y|$. График этого соотношения — объединение двух лучей, выходящих из начала координат и симметричных относительно оси OX: $x = y$ для $y \ge 0$ и $x = -y$ для $y < 0$.

2. Из второго уравнения $2x - y = 3$ выразим $y$: $y = 2x - 3$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения можно взять точки (0, -3) и (1.5, 0).

Найдём точки пересечения графиков. Подставим $y = 2x - 3$ в первое уравнение: $x - |2x - 3| = 0$. Проще подставить $x=|y|$ во второе уравнение: $2|y| - y = 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Если $y \ge 0$, то $|y| = y$. Уравнение принимает вид $2y - y = 3$, откуда $y = 3$. Это значение удовлетворяет условию $y \ge 0$. Найдём соответствующий $x$: $x = |y| = |3| = 3$. Первая точка пересечения — (3, 3).
• Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Уравнение принимает вид $2(-y) - y = 3$, то есть $-3y = 3$, откуда $y = -1$. Это значение удовлетворяет условию $y < 0$. Найдём $x$: $x = |y| = |-1| = 1$. Вторая точка пересечения — (1, -1).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 3)$ и $(1, -1)$.