Номер 1230, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1230, страница 234.

Условие.

1230.Подберите такие значения a и b, при которых система уравнений

$$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ ax + 4y = b: \end{cases}$$

1) имеет бесконечно много решений;

2) имеет единственное решение;

3) не имеет решений.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим данную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ ax + 4y = b \end{cases} $

Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными зависит от соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $, где коэффициенты первого уравнения $A_1=1$, $B_1=-2$, $C_1=3$, а второго — $A_2=a$, $B_2=4$, $C_2=b$, проанализируем три возможных случая.

1) имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если уравнения пропорциональны, то есть графики уравнений (прямые) совпадают. Это условие выполняется, когда отношения всех соответствующих коэффициентов равны:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $

Подставим значения коэффициентов из нашей системы:

$ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} = \frac{3}{b} $

Из пропорции $ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} $ найдем значение $a$:

$ \frac{1}{a} = -\frac{1}{2} \implies a = -2 $

Из пропорции $ \frac{-2}{4} = \frac{3}{b} $ найдем значение $b$:

$ -\frac{1}{2} = \frac{3}{b} \implies -b = 2 \cdot 3 \implies b = -6 $

Следовательно, система имеет бесконечно много решений только при $a = -2$ и $b = -6$.
Ответ: $a = -2$, $b = -6$.

2) имеет единственное решение

Система имеет единственное решение, если прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Для коэффициентов системы это означает, что отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$:

$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $

Подставим наши значения:

$ \frac{1}{a} \neq \frac{-2}{4} $

$ \frac{1}{a} \neq -\frac{1}{2} \implies a \neq -2 $

В этом случае значение параметра $b$ не влияет на наличие единственного решения, так как оно определяет только положение прямой, но не её наклон. Поэтому $b$ может быть любым действительным числом.
Ответ: $a \neq -2$, $b$ — любое число.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это условие выполняется, когда отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Подставим наши значения:

$ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} \neq \frac{3}{b} $

Из равенства $ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} $ следует, что $a = -2$.

Теперь рассмотрим неравенство, используя найденное значение $a$:

$ \frac{-2}{4} \neq \frac{3}{b} \implies -\frac{1}{2} \neq \frac{3}{b} $

$ -b \neq 6 \implies b \neq -6 $

Следовательно, система не имеет решений при $a = -2$ и любом значении $b$, не равном $-6$.
Ответ: $a = -2$, $b \neq -6$.