Номер 1224, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1224, страница 233.

Условие.

1224. Имеет ли решение система уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 4, \\ 3x - 3y = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 1.5y = -4, \\ 3y - 2x = 8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 9x + 9y = 18, \\ x + y = 2? \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}x - y = 4 \\3x - 3y = 6\end{cases}$

Для того чтобы определить, имеет ли система решения, можно использовать несколько методов.

Метод 1: Метод подстановки.

Выразим переменную $x$ из первого уравнения: $x = 4 + y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(4 + y) - 3y = 6$

Раскроем скобки:

$12 + 3y - 3y = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$12 = 6$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что нет такой пары чисел $(x, y)$, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям одновременно, следовательно, система не имеет решений.

Метод 2: Анализ коэффициентов.

Представим уравнения в виде $ax + by = c$.

Для первого уравнения: $a_1=1, b_1=-1, c_1=4$.

Для второго уравнения: $a_2=3, b_2=-3, c_2=6$.

Сравним отношения коэффициентов при переменных и свободных членов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, уравнения описывают две параллельные прямые, которые не пересекаются. Таким образом, система несовместна.

Ответ: нет, система не имеет решений.

2) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}x - 1,5y = -4 \\3y - 2x = 8\end{cases}$

Приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые в левой части:

$\begin{cases}x - 1,5y = -4 \\-2x + 3y = 8\end{cases}$

Умножим обе части первого уравнения на -2:

$-2(x - 1,5y) = -2(-4)$

$-2x + 3y = 8$

Полученное уравнение полностью совпадает со вторым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения являются зависимыми и описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Любая точка на этой прямой является решением системы.

Таким образом, система имеет решения.

Ответ: да, система имеет бесконечное множество решений.

3) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}9x + 9y = 18 \\x + y = 2\end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 9:

$\frac{9x + 9y}{9} = \frac{18}{9}$

$x + y = 2$

После упрощения мы видим, что первое уравнение системы стало идентично второму: $x + y = 2$.

Это означает, что, как и в предыдущем случае, оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая уравнению $x+y=2$, является решением системы.

Таким образом, система имеет решения.

Ответ: да, система имеет бесконечное множество решений.