Номер 1218, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1218, страница 233.

Условие.

1218. Решите графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + 2y = 0, \\ 5x + y = -18; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 5y = 10, \\ 4x - y = 2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - 2y = 1, \\ y - x = -2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = -1. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 0 \\ 5x + y = -18 \end{cases} $

Для решения системы графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения на одной координатной плоскости. Решением системы будет точка пересечения этих графиков. Оба уравнения являются линейными, поэтому их графики — прямые линии.

1. Построим график первого уравнения: $x + 2y = 0$.
Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:
$2y = -x$
$y = -0.5x$
Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
- Если $x = 0$, то $y = -0.5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
- Если $x = -4$, то $y = -0.5 \cdot (-4) = 2$. Получаем точку $(-4; 2)$.

2. Построим график второго уравнения: $5x + y = -18$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = -5x - 18$
Найдем координаты двух точек для этой прямой.
- Если $x = -3$, то $y = -5(-3) - 18 = 15 - 18 = -3$. Получаем точку $(-3; -3)$.
- Если $x = -4$, то $y = -5(-4) - 18 = 20 - 18 = 2$. Получаем точку $(-4; 2)$.

Построив оба графика на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в точке с координатами $(-4; 2)$.

Проверим найденное решение, подставив $x = -4$ и $y = 2$ в исходную систему:
$(-4) + 2(2) = -4 + 4 = 0$ (верно)
$5(-4) + 2 = -20 + 2 = -18$ (верно)

Ответ: $(-4; 2)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 5y = 10 \\ 4x - y = 2 \end{cases} $

Построим графики для каждого уравнения системы.

1. Построим график уравнения $2x - 5y = 10$.
Выразим $y$ через $x$:
$-5y = -2x + 10$
$y = \frac{2}{5}x - 2$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{5}(0) - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
- Если $x = 5$, то $y = \frac{2}{5}(5) - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(5; 0)$.

2. Построим график уравнения $4x - y = 2$.
Выразим $y$ через $x$:
$-y = -4x + 2$
$y = 4x - 2$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = 4(0) - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
- Если $x = 1$, то $y = 4(1) - 2 = 2$. Получаем точку $(1; 2)$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в точке $(0; -2)$. Эту точку мы получили при построении обоих графиков, что подтверждает её как точку пересечения.

Проверка:
$2(0) - 5(-2) = 0 + 10 = 10$ (верно)
$4(0) - (-2) = 0 + 2 = 2$ (верно)

Ответ: $(0; -2)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ y - x = -2 \end{cases} $

Построим графики для каждого уравнения системы.

1. Построим график уравнения $x - 2y = 1$.
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = -x + 1$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 1$, то $y = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2} = 0$. Получаем точку $(1; 0)$.
- Если $x = 3$, то $y = \frac{1}{2}(3) - \frac{1}{2} = \frac{3-1}{2} = 1$. Получаем точку $(3; 1)$.

2. Построим график уравнения $y - x = -2$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = x - 2$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(2; 0)$.
- Если $x = 3$, то $y = 3 - 2 = 1$. Получаем точку $(3; 1)$.

Построив прямые на одной координатной плоскости, находим точку их пересечения: $(3; 1)$.

Проверка:
$3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$ (верно)
$1 - 3 = -2$ (верно)

Ответ: $(3; 1)$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -1 \end{cases} $

Построим графики для каждого уравнения системы.

1. Построим график уравнения $x + y = -3$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = -x - 3$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
- Если $x = -3$, то $y = -(-3) - 3 = 0$. Получаем точку $(-3; 0)$.

2. Построим график уравнения $x - y = -1$.
Выразим $y$ через $x$:
$-y = -x - 1$
$y = x + 1$
Найдем координаты двух точек:
- Если $x = 0$, то $y = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
- Если $x = -1$, то $y = -1 + 1 = 0$. Получаем точку $(-1; 0)$.

Построив графики на координатной плоскости, определим точку их пересечения. Она имеет координаты $(-2; -1)$.

Проверка:
$(-2) + (-1) = -3$ (верно)
$(-2) - (-1) = -2 + 1 = -1$ (верно)

Ответ: $(-2; -1)$.