Номер 1214, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1214, страница 231.

Условие.

1214. Верно ли утверждение:

1) пара чисел (0; 0) не является решением системы уравнений

$\begin{cases} y - x = 5, \\ 3x + 2y = 4; \end{cases}$

2) пара чисел (-1; 2) является решением системы уравнений

$\begin{cases} x + y = 1, \\ 3x + 2y = -1; \end{cases}$

3) пара чисел (2; -1) является решением системы уравнений

$\begin{cases} 2y - x = -4, \\ 2x + 3y = 1; \end{cases}$

4) пара чисел (9; -1) не является решением системы уравнений

$\begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 10; \end{cases}$

5) система уравнений $\begin{cases} 4x + 5y = 6, \\ 5y + 4x = 7 \end{cases}$ не имеет решений?

Решение 1.

Решение 5.

1) пара чисел (0; 0) не является решением системы уравнений $\begin{cases} y - x = 5, \\ 3x + 2y = 4; \end{cases}$

Чтобы проверить, является ли пара чисел $(0; 0)$ решением системы уравнений, подставим значения $x=0$ и $y=0$ в каждое уравнение.

Первое уравнение: $y - x = 5$. После подстановки получаем $0 - 0 = 0$. Равенство $0 = 5$ является неверным.

Поскольку пара чисел не удовлетворяет первому уравнению, она не является решением системы. Таким образом, исходное утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

2) пара чисел (–1; 2) является решением системы уравнений $\begin{cases} x + y = 1, \\ 3x + 2y = -1; \end{cases}$

Проверим, удовлетворяет ли пара чисел $(-1; 2)$ обоим уравнениям системы, подставив $x=-1$ и $y=2$.

Первое уравнение: $x + y = 1$. После подстановки получаем $-1 + 2 = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.

Второе уравнение: $3x + 2y = -1$. После подстановки получаем $3(-1) + 2(2) = -3 + 4 = 1$. Равенство $1 = -1$ является неверным.

Поскольку пара чисел не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы. Таким образом, исходное утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

3) пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений $\begin{cases} 2y - x = -4, \\ 2x + 3y = 1; \end{cases}$

Проверим, удовлетворяет ли пара чисел $(2; -1)$ обоим уравнениям системы, подставив $x=2$ и $y=-1$.

Первое уравнение: $2y - x = -4$. После подстановки получаем $2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$. Равенство $-4 = -4$ является верным.

Второе уравнение: $2x + 3y = 1$. После подстановки получаем $2(2) + 3(-1) = 4 - 3 = 1$. Равенство $1 = 1$ является верным.

Поскольку пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы. Таким образом, исходное утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

4) пара чисел (9; –1) не является решением системы уравнений $\begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 10; \end{cases}$

Проверим, является ли пара чисел $(9; -1)$ решением системы, подставив $x=9$ и $y=-1$ в уравнения.

Первое уравнение: $x + y = 8$. После подстановки получаем $9 + (-1) = 8$. Равенство $8 = 8$ является верным.

Второе уравнение: $x - y = 10$. После подстановки получаем $9 - (-1) = 9 + 1 = 10$. Равенство $10 = 10$ является верным.

Поскольку пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы. Утверждение, что эта пара не является решением, неверно.

Ответ: утверждение неверно.

5) система уравнений $\begin{cases} 4x + 5y = 6, \\ 5y + 4x = 7 \end{cases}$ не имеет решений?

Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} 4x + 5y = 6 \\ 5y + 4x = 7 \end{cases}$.

Второе уравнение можно переписать, поменяв местами слагаемые в левой части (согласно переместительному закону сложения): $4x + 5y = 7$.

Таким образом, система эквивалентна следующей: $\begin{cases} 4x + 5y = 6 \\ 4x + 5y = 7 \end{cases}$.

Из этой системы следует, что одно и то же выражение $4x + 5y$ должно одновременно равняться 6 и 7. Так как $6 \ne 7$, это невозможно. Следовательно, не существует пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющей обоим уравнениям одновременно. Система не имеет решений.

Значит, исходное утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.